(2013•湖南)已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:
x25
+y2=1
的左、右焦點F1,F(xiàn)2關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當ab最大時,求直線l的方程.
分析:(I)由題意可知:F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),可得⊙C的半徑為2,圓心為原點O關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點.設(shè)圓心的坐標為(m,n).利用線段的垂直平行的性質(zhì)可得
n
m
=1
m
2
+
n
2
-2=0
,解出即可得到圓的方程;
(II))由題意,可設(shè)直線l的方程為x=my+2,利用點到直線的距離公式可得圓心到直線l的距離d=
|2m|
1+m2
,再利用弦長公式即可得到b=2
r2-d2
.把直線l的方程為x=my+2與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長公式即可得到a,進而得到ab,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
解答:解:(I)由題意可知:F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0).故⊙C的半徑為2,圓心為原點O關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點.設(shè)圓心的坐標為(m,n).則
n
m
=1
m
2
+
n
2
-2=0
,解得
m=2
n=2

∴圓C的方程為(x-2)2+(y-2)2=4;
(II)由題意,可設(shè)直線l的方程為x=my+2,則圓心到直線l的距離d=
|2m|
1+m2
,
∴b=2
22-d2
=
4
1+m2

x=my+2
x2+5y2=5
得(5+m2)y2+4my-1=0.
設(shè)l與E的兩個交點分別為(x1,y1),(x2,y2).
y1+y2=-
4m
5+m2
,y1y2=
-1
5+m2

∴a=
(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
(1+m2)[
16m2
(5+m2)2
+
4
m2+5
]
=
2
5
(m2+1)
m2+5

∴ab=
8
5
m2+1
m2+5
=
8
5
m2+1
+
4
m2+1
8
5
2
m2+1
4
m2+1
=2
5

當且僅當
m2+1
=
4
m2+1
,即m=±
3
時等號成立.
故當m=±
3
時,ab最大,此時,直線l的方程為x=±
3
y+2
,即
3
y-2=0
點評:本題綜合考查了圓與橢圓的標準方程及其性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、圓的弦長公式b=2
r2-d2
、直線與橢圓相交的弦長公式a=
(1+
1
k2
)
|y1-y2|
、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與方法,需要較強的推理能力、計算能力、分析問題和解決問題的能力..
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6
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3
3
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{6,8}
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1
2
,則
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AB
=( 。

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a
,
b
是單位向量,
a
b
=0.若向量
c
滿足|
c
-
a
-
b
|=1,則|
c
|的最大值為(  )

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