Question

已知橢圓C中心為坐標原點，焦點在y軸上，過點M（

3

2

，-1），離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C的方程．
（2）若A，B為橢圓C上的動點，且

OA

⊥

OB

（其中O為坐標原點）．求證：直線AB與定圓相切．并求該圓的方程與△OAB面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設出方程，利用橢圓過點M（

3

2

，-1），離心率為

3

2

，求出a，b，即可求橢圓C的方程．
（2）設出A，B的坐標，代入橢圓方程，兩式相加，可得AB邊上的高，即可證明直線AB與定圓相切．利用基本不等式求出△OAB面積的最小值．

解答： 解：（1）由題意，設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓過點M（

3

2

，-1），離心率為

3

2

，
∴

1

a2

+

3 4

b2

=1，

a2-b2

a

=

3

2

，
∴a=2，b=1，
∴橢圓方程：

y2

4

+x2=1（4分）
（2）可由

OA

⊥

OB

，設A（|OA|cosα，|OA|sinα），B(|OB|cos(α+

π

2

)，|OB|sin(α+

π

2

))，即B（-|OB|sinα，|OB|cosα）．
將A，B代入橢圓方程后可得：

sin2α

4

+cos2α=

1

|OA|2

，

cos2α

4

+sin2α=

1

|OB|2

兩式相加可得：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

5

4

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2|OB|2

=

|AB|2

|OA|2|OB|2

，
∴AB邊上的高為

|OA| |OB|

|AB|

=

4 5

，
∴AB與定圓x2+y2=

4

5

相切
同時：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

5

4

≥

2

|OA||OB|

，
∴|OA||OB|≥

8

5

，
∴S△OAB=

1

2

|OA||OB|≥

4

5

，當且僅當|OA|=|OB|時取等，即△OAB面積的最小值為

4

5

．            （12分）

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查橢圓的參數(shù)方程，考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，確定橢圓的方程是關鍵．