Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB= ，E、F分別為線段PD和BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）在線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°？若存在，試確定G的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：取PA中點(diǎn)為H，連結(jié)CE、HE、FH，

∵H、E分別為PA、PD的中點(diǎn)，∴HE∥AD，HE= ，

∵ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點(diǎn)，

∴FC∥AD，EC= ，

∴HE∥FC，HE=FC，四邊形FCEH是平行四邊形，

∴EC∥HF，又∵CE不包含于平面PAF，HF平面PAF，

∴CE∥平面PAF．…（4分）

（Ⅱ）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形且∠ACB=90°，

∴CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，

∴CA⊥平面PAD，∴CA⊥PA

由PA=AD=1，PD= 知，PA⊥AD

∴建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz

∵PA=BC=1，AB= ，∴AC=1，

∴B（1，﹣1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），

假設(shè)BC上存在一點(diǎn)G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，a，0），﹣1≤a≤0，

∴ ， =（0，0，1），

設(shè)平面PAG的法向量為 =（x，y，z），

則 ，令x=a，y=﹣1，z=0，∴ =（a，﹣1，0），

又 =（0，b，0）， =（﹣1，0，1），

設(shè)平面PCG的法向量為 =（x，y，z），

則 ，令x=1，y=0，z=1，∴ =（1，0，1），…（9分）

∵平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，

∴|cos＜ ＞|=| |= ，

∴a=±1，又﹣1≤a≤0，∴a=﹣1，

所以線段BC上存在一點(diǎn)G，

使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°

點(diǎn)G即為B點(diǎn)．

【解析】（1）取PA中點(diǎn)為H，連結(jié)CE、HE、FH，由已知得ABCD是平行四邊形，四邊形FCEH是平行四邊形，由此能證明CE∥平面PAF．（2）由已知得CA⊥AD，CA⊥平面PAD，CA⊥PA，建立平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能求出平面PAG和平面PGC所成二面角的大小．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．