已知數(shù)列an,bn,滿足a1=2,2an=1+anan+1,bn=an-1(bn≠0).
(I)求證數(shù)列{
1bn
}
是等差數(shù)列,并求數(shù)列an的通項公式;
(II)令Cn=bnbn+1,Sn為數(shù)列Cn的前n項和,求證:Sn<1.
分析:(1)將bn=an-1代入2an=1+anan+1,可得bn的遞推關(guān)系式,整理變形可得
1
bn+1
-
1
bn
=1
,由等差數(shù)列的定義可得 {
1
bn
}
為等差數(shù)列,故可求其通項公式,進而求出an
(2)根據(jù)(1)知Cn=bnbn+1=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,利用裂項法求得數(shù)列 {Cn}的前n項的和,即可證得結(jié)論.
解答:解:(1)由bn=an-1,得an=bn+1,代入2an=1+anan+1,
得2(bn+1)=1+(bn+1)(bn+1+1),
∴bnbn+1+bn+1-bn=0,從而有
1
bn+1
-
1
bn
=1
,
∵b1=a1-1=2-1=1,
{
1
bn
}
是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,
1
bn
=n
,即 bn=
1
n
;
∴an=
1
n
+1=
n+1
n

(2)由題意可知:Cn=bnbn+1=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,
∴Sn=Cn+Cn+Cn+…+Cn=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1
<1.
即Sn<1.
點評:此題是個中檔題.本題主要考查了等比差數(shù)列的定義、裂項法求和問題,和不等式與數(shù)列的綜合.考查了學生對基礎知識的綜合運用.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列an,bn,xn滿足a1=b1=2,an+1=bn+1+4bn,bn+1=an+bn,xn=
an
bn

(1)填空:當n≥2時,xn
 
1.(填>,=,<中一個)
(2)求證:xn+1與xn中一個比
5
大,另一個比
5
小,并指出xn+1與xn中哪一個更接近于
5

(3)若數(shù)列{|xn-
5
|}
的前n項和為Sn,求證:Sn
5
+1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列an、bn中,對任何正整數(shù)n都有:a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2.
(1)若數(shù)列an是首項和公差都是1的等差數(shù)列,求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列bn是等比數(shù)列,數(shù)列an是否是等差數(shù)列,若是請求出通項公式,若不是請說明理由;
(3)若數(shù)列an是等差數(shù)列,數(shù)列bn是等比數(shù)列,求證:
n
i=1
1
aibi
3
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列an和bn滿足:a1=λ,an+1=
23
an+n-4
,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ為實數(shù),n為正整數(shù).
(1)試判斷數(shù)列an是否可能為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(2)求數(shù)列bn的通項公式;
(3)設a>0,Sn為數(shù)列bn的前n項和,如果對于任意正整數(shù)n,總存在實數(shù)λ,使得不等式a<Sn<a+1成立,求正數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列an,bn,cn滿足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
(1)設cn=3n+6,an是公差為3的等差數(shù)列.當b1=1時,求b2,b3的值;
(2)設cn=n3,an=n2-8n求正整數(shù)k,使得一切n∈N*均有bn≥bk

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