已知數(shù)列an、bn中,對任何正整數(shù)n都有:a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2.
(1)若數(shù)列an是首項和公差都是1的等差數(shù)列,求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列bn是等比數(shù)列,數(shù)列an是否是等差數(shù)列,若是請求出通項公式,若不是請說明理由;
(3)若數(shù)列an是等差數(shù)列,數(shù)列bn是等比數(shù)列,求證:
n
i=1
1
aibi
3
2
分析:(1)先求an=n,代入已知可得bn+2bn-1+3bn-2+…+(n-1)b2+nb1=2n+1-n-2,則bn-1+2bn-2+3bn-3+…+(n-2)b2+(n-1)b1=2n-n-1(n≥2)兩式相減可求數(shù)列bn
(2)同(1)可得an=
2-q
b
2n +
q-1
b
×n+
q-2
b
,結合q的取值及等差數(shù)列的通項公式可求
(3)利用放縮不等式
1
1×1
+
1
2×2
+
1
3×22
+…+
1
n×2n-1
1
1×1
+
1
2×2
 +
1
22
+…+
1
2n-1
可證
解答:解:(1)依題意數(shù)列an的通項公式是an=n,
故等式即為bn+2bn-1+3bn-2+…+(n-1)b2+nb1=2n+1-n-2,bn-1+2bn-2+3bn-3+…+(n-2)b2+(n-1)b1=2n-n-1(n≥2),
兩式相減可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1(3分)
得bn=2n-1,數(shù)列bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.(4分)
(2)設等比數(shù)列bn的首項為b,公比為q,則bn=bqn-1,從而有:bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2,
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1(n≥2),
故(2n-n-1)q+ban=2n+1-n-2(6分)
an=
2-q
b
×2n+
q-1
b
×n+
q-2
b

要使an+1-an是與n無關的常數(shù),必需q=2(8分)
即①當?shù)缺葦?shù)列bn的公比q=2時,數(shù)列an是等差數(shù)列,其通項公式是an=
n
b
;
②當?shù)缺葦?shù)列bn的公比不是2時,數(shù)列an不是等差數(shù)列.(9分)
(3)由(2)知anbn=n•2n-1,(10分)
顯然n=1,2時
n
i=1
1
aibi
3
2

當n≥3時
n
i=1
1
aibi
=
1
1×1
+
1
2×2
+
1
22
+
1
23
++
1
2n-1

1
1×1
+
1
2×2
+
1
2×22
+…+
1
2n-1
(14分)
=1+
1
2×2
1-(
1
2
)
n-1
1-
1
2
=
3
2
-
1
2n
3
2
(16分)
點評:本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式及由數(shù)列的“和”轉化為“項”的綜合應用,考查運算能力和推理論證能力.解題中體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應用.
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