Question

過點(diǎn)（2，-1）引直線與拋物線y=x²只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線共有____條．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)過點(diǎn)（2，-1）的直線不存在斜率時(shí)，容易檢驗(yàn)；②當(dāng)過點(diǎn)（2，-1）的直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為y+1=k（x-2），聯(lián)立方程組，則方程組一解，消掉y后由△=0即可求得k值，從而求得直線方程；
解答：①當(dāng)過點(diǎn)（2，-1）的直線不存在斜率時(shí)，直線方程為x=2，代入y=x²得y=4，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)（2，4）；
②當(dāng)過點(diǎn)（2，-1）的直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為y+1=k（x-2），
由，得x²-kx+2k+1=0，令△=k²-4（2k+1）=0，解得k=4±2，
此時(shí)直線方程為y+1=（4+2）（x-2）或y+1=（4-2）（x-2），兩直線與拋物線相切，
綜上，滿足條件的直線有3條，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題往往轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行處理．