已知函數(shù)f(x)=x+
a2x
,g(x)=x+lnx,其中a>0.
(Ⅰ)若x=1是函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的極值點,求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)是否存在正實數(shù)a,使對任意的x1,x2∈[1,e](e為自然對數(shù)的底數(shù))都有f(x1)≥g(x2)成立,若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,說明理由.
分析:(1)利用函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)等于0,且此點的左側(cè)和右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號相反,求得實數(shù)a的值.
(2)問題等價于對任意的x1,x2∈[1,e]時,都有[f(x)]min≥[g(x)]max,分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的符號
判斷函數(shù)的單調(diào)性,由單調(diào)性求出函數(shù)f(x)的最小值及g(x)]的最大值,根據(jù)它們之間的關(guān)系求出
實數(shù)a的取值范圍.
解答:(1)解:∵h(x)=2x+
a2
x
+lnx
,其定義域為(0,+∞),∴h′(x)=2-
a2
x2
+
1
x

∵x=1是函數(shù)h(x)的極值點,∴h'(1)=0,即3-a2=0,∵a>0,∴a=
3

經(jīng)檢驗,當(dāng)a=
3
時,x=1是函數(shù)h(x)的極值點,∴a=
3

(2)解:假設(shè)存在實數(shù)a,對任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立,
等價于對任意的x1,x2∈[1,e]時,都有[f(x)]min≥[g(x)]max,當(dāng)x∈[1,e]時,g′(x)=1+
1
x
>0

∴函數(shù)g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函數(shù).∴[g(x)]max=g(e)=e+1.
f′(x)=1-
a2
x2
=
(x+a)(x-a)
x2
,且x∈[1,e],a>0,
①當(dāng)0<a<1且x∈[1,e]時,f′(x)=
(x+a)(x-a)
x2
>0

∴函數(shù)f(x)=x+
a2
x
在[1,e]上是增函數(shù).∴[f(x)]min=f(1)=1+a2
由1+a2≥e+1,得  a≥
e
,又0<a<1,∴a  不合題意.
②當(dāng)1≤a≤e時,
若1≤x<a,則f′(x)=
(x+a)(x-a)
x2
<0
,若a<x≤e,則f′(x)=
(x+a)(x-a)
x2
>0

∴函數(shù)f(x)=x+
a2
x
在[1,a)上是減函數(shù),在(a,e]上是增函數(shù).
∴[f(x)]min=f(a)=2a.2a≥e+1,得  a≥
e+1
2
,1≤a≤e,∴
e+1
2
≤a≤e.
③當(dāng)a>e且x∈[1,e]時,f′(x)=
(x+a)(x-a)
x2
<0

∴函數(shù)f(x)=x+
a2
x
在[1,e]上是減函數(shù).∴[f(x)]min=f(e)=e+
a2
e

e+
a2
e
≥e+1,得  a≥
e
,又a>e,∴a>e.
綜上所述,存在正實數(shù)a的取值范圍為 [
e+1
2
,+∞)
點評:本題考查函數(shù)在某點存在極值的條件,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
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B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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