Question

【題目】自選題：已知曲線C1： （θ為參數(shù)），曲線C2： （t為參數(shù)）．
（1）指出C1 ， C2各是什么曲線，并說(shuō)明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若把C1 ， C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來(lái)的一半，分別得到曲線C1′，C2′．寫(xiě)出C1′，C2′的參數(shù)方程．C1′與C2′公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： C1是圓，C2是直線．C1的普通方程為x2+y2=1，

圓心C1（0，0），半徑r=1．C2的普通方程為 ．

因?yàn)閳A心C1到直線 的距離為1，

所以C2與C1只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（2）解：壓縮后的參數(shù)方程分別為C1′： （θ為參數(shù)）；

C2′： （t為參數(shù)）．

化為普通方程為：C1′：x2+4y2=1，C2′： ，

聯(lián)立消元得 ，

其判別式 ，

所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和C1與C2公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同

【解析】（1）先利用公式sin2θ+cos2θ=1將參數(shù)θ消去，得到圓的直角坐標(biāo)方程，利用消元法消去參數(shù)t得到直線的普通方程，再根據(jù)圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較，從而得到C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）求出壓縮后的參數(shù)方程，再將參數(shù)方程化為普通方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，利用判別式進(jìn)行判定即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線的參數(shù)方程和圓的參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）；圓的參數(shù)方程可表示為才能正確解答此題．