Question

（2013•南通三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，四條側(cè)棱長均相等．
（1）求證：AB∥平面PCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面ABCD．

Answer 1

分析：（1）由矩形ABCD，對邊平行得到AB∥CD，結(jié)合線面平行的判定定理得到AB∥平面PCD；
（2）連結(jié)BD，交AC于點O，連結(jié)PO，由在矩形ABCD中，點O為AC，BD的中點，可得PO⊥AC，PO⊥BD，進而由線面垂直的判定定理得到PO⊥平面ABCD，進而由面面垂直的判定定理得到平面平面PAC⊥平面ABCD．

解答：證明：（1）在矩形ABCD中，AB∥CD，
又AB?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AB∥平面PCD．        …（6分）
（2）如圖，連結(jié)BD，交AC于點O，連結(jié)PO，
在矩形ABCD中，點O為AC，BD的中點，
又PA=PB=PC=PD，
故PO⊥AC，PO⊥BD，…（9分）
又AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，…（12分）
又PO?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．                 …（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，屬于中檔題．