【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)當(dāng)a=﹣ 時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),不等式f(x)﹣x≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng) 時(shí),

解f′(x)>0得﹣1<x<1;

解f′(x)<0得x>1.

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(﹣1,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞)


(2)解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù),

x∈[1,+∞)恒成立

即a≤ x∈[1,+∞)恒成立

∴a≤﹣


(3)解:∵當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),不等式f(x)﹣x≤0恒成立,

即ax2+ln(x+1)﹣x≤0恒成立,

設(shè)g(x)=ax2+ln(x+1)﹣x(x≥0),

只需g(x)max≤0即可

①當(dāng)a=0時(shí), ,

當(dāng)x>0時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,

∴g(x)≤g(0)=0成立

②當(dāng)a>0時(shí),令g′(x)=0,

∵x≥0,

∴解得

1)當(dāng) ,即 時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上g′(x)>0,

則函數(shù)g(x)在(0.+∞)上單調(diào)遞增,

∴g(x)在[0,+∞)上無最大值,不合題設(shè).

2)當(dāng) 時(shí),即 時(shí),在區(qū)間 上g′(x)<0;

在區(qū)間 上g′(x)>0.

∴函數(shù)g(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減,在區(qū)間 上單調(diào)遞增,

同樣g(x)在[0,+∞)無最大值,不滿足條件.

③當(dāng)a<0時(shí),由x≥0,故2ax+(2a﹣1)<0,

<0,

∴函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,

∴g(x)≤g(0)=0成立,

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,0]


【解析】(1)當(dāng) 時(shí),直接對f(x)求導(dǎo),解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù)可確定a≤ ,又 最小值為 ,從而可確定a的取值范圍;(3)不等式f(x)﹣x≤0可化簡為ax2+ln(x+1)﹣x≤0,分情況討論,a=0,a<0和a>0時(shí)ax2+ln(x+1)﹣x≤0是否恒成立即可.

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