【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),
f(x)= ,
則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為( 。
A.1﹣2a
B.2a﹣1
C.1﹣2﹣a
D.2﹣a﹣1
【答案】A
【解析】解:∵當(dāng)x≥0時(shí),
f(x)=;
即x∈[0,1)時(shí),f(x)=(x+1)∈(﹣1,0];
x∈[1,3]時(shí),f(x)=x﹣2∈[﹣1,1];
x∈(3,+∞)時(shí),f(x)=4﹣x∈(﹣∞,﹣1);
畫出x≥0時(shí)f(x)的圖象,
再利用奇函數(shù)的對(duì)稱性,畫出x<0時(shí)f(x)的圖象,如圖所示;
則直線y=a,與y=f(x)的圖象有5個(gè)交點(diǎn),則方程f(x)﹣a=0共有五個(gè)實(shí)根,
最左邊兩根之和為﹣6,最右邊兩根之和為6,
∵x∈(﹣1,0)時(shí),﹣x∈(0,1),
∴f(﹣x)=(﹣x+1),
又f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣(﹣x+1)=(1﹣x)﹣1=log2(1﹣x),
∴中間的一個(gè)根滿足log2(1﹣x)=a,即1﹣x=2a ,
解得x=1﹣2a ,
∴所有根的和為1﹣2a .
故選:A.
函數(shù)F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為:在同一坐標(biāo)系內(nèi)y=f(x),y=a的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
作出兩函數(shù)圖象,考查交點(diǎn)個(gè)數(shù),結(jié)合方程思想,及零點(diǎn)的對(duì)稱性,根據(jù)奇函數(shù)f(x)在x≥0時(shí)的解析式,作出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象及其對(duì)稱性,求出答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若定義域?yàn)?/span>,解不等式.
【答案】(1)奇函數(shù)(2)增函數(shù)(3)
【解析】試題分析:(1)判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,如果對(duì)定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。(2)利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性,按假設(shè),作差,化簡,判斷,下結(jié)論五個(gè)步驟。(3)由(1)(2)奇函數(shù)在(-1,1)為單調(diào)函數(shù),
原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函數(shù)的單調(diào)性及定義(-1,1)求解得x范圍。
試題解析:(1)函數(shù)為奇函數(shù).證明如下:
定義域?yàn)?/span>
又
為奇函數(shù)
(2)函數(shù)在(-1,1)為單調(diào)函數(shù).證明如下:
任取,則
,
即
故在(-1,1)上為增函數(shù)
(3)由(1)、(2)可得
則
解得:
所以,原不等式的解集為
【點(diǎn)睛】
(1)奇偶性:判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,如果對(duì)定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。
(2)單調(diào)性:利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性,按假設(shè),作差,化簡,定號(hào),下結(jié)論五個(gè)步驟。
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù).
(1)若的定義域和值域均是,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若在區(qū)間上是減函數(shù),且對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若,且對(duì)任意的,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)P在△ABC的BC邊所在的直線上從左到右運(yùn)動(dòng),設(shè)△ABP與△ACP的外接圓面積之比為λ,當(dāng)點(diǎn)P不與B,C重合時(shí),( )
A.λ先變小再變大
B.當(dāng)M為線段BC中點(diǎn)時(shí),λ最大
C.λ先變大再變小
D.λ是一個(gè)定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A,B,C為直角坐標(biāo)系xOy中的三個(gè)定點(diǎn)
(Ⅰ)若點(diǎn)D為□ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn),求||;
(Ⅱ)若點(diǎn)P在直線OC上,且·=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知單位圓x2+y2=1與x軸正半軸交于點(diǎn)P,當(dāng)圓上一動(dòng)點(diǎn)Q從P出發(fā)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到P點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)設(shè)OQ掃過的扇形對(duì)應(yīng)的圓心角為xrad,當(dāng)0<x<2π時(shí),設(shè)圓心O到直線PQ的距離為y,y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)是如圖所示的程序框圖中的①②兩個(gè)關(guān)系式
(Ⅰ)寫出程序框圖中①②處的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)若輸出的y值為2,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)y=f(t)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù),其中.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系:
t | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y | 12 | 15.1 | 12.1 | 9.1 | 12 | 14.9 | 11.9 | 9 | 12.1 |
經(jīng)長期觀察,函數(shù)y=f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.⑴求的解析式;⑵設(shè)水深不小于米時(shí),輪船才能進(jìn)出港口。某輪船在一晝夜內(nèi)要進(jìn)港口靠岸辦事,然后再出港。問該輪船最多能在港口?慷嚅L時(shí)間?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法:
①分類變量A與B的隨機(jī)變量K2越大,說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大.
②以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程,設(shè)z=lny,將其變換后得到線性方程z=0.3x+4,則c,k的值分別是e4和0.3.
③根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為y=a+bx中,b=1, =1, =3,
則a=1.正確的序號(hào)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是_________.
【答案】[-1,2]
【解析】:f(x)=sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+),
∵﹣≤x≤,
∴﹣≤x+≤,
∴﹣≤sin(x+)≤1,
∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?/span>[﹣1,2],
故答案為:[﹣1,2].
【題型】填空題
【結(jié)束】
15
【題目】若點(diǎn)O在內(nèi),且滿足,設(shè)為的面積, 為的面積,則=________.
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