【題目】已知函數(shù)h(x)=lnx+
(1)函數(shù)g(x)=h(2x+m),若x=1是g(x)的極值點(diǎn),求m的值并討論g(x)的單調(diào)性;
(2)函數(shù)φ(x)=h(x)﹣ +ax2﹣2x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),其極小值為M,試比較2M與﹣3的大小關(guān)系,并說明理由.

【答案】
(1)解:g(x)=ln(2x+m)+ ,(x>﹣ ),

g′(x)= = ,

若x=1是g(x)的極值點(diǎn),

則g′(x)= =0,解得:m=﹣1,

故g(x)=ln(2x﹣1)+ ,(x> ),

g′(x)= ,

令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,解得: <x<1,

故g(x)在( ,1)遞減,在(1,+∞)遞增


(2)解:φ(x)=h(x)﹣ +ax2﹣2x=ax2﹣2x+lnx(x>0)

φ′(x)=2ax﹣2+ = (x>0)

∵φ(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),

∴2ax2﹣2x+1=0在(0,+∞)有兩個(gè)不同的實(shí)根.

設(shè)p(x)=2ax2﹣2x+1=0,

,即 ,即有0<a<

設(shè)p(x)在(0,+∞)的兩根x1,x2且x1<x2,

x

(0,x1

x1

(x1,x2

x2

(x2,+∞)

φ′(x)

+

0

0

+

φ(x)

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

∴φ(x)的極小值為M=φ(x2)=ax22﹣2x2+lnx2

又p(x)=0在(0,+∞)的兩根為x1,x2,

∴2ax22﹣2x2+1=0

∴φ(x)極小值=M=φ(x2)=ax22﹣2x2+lnx2

=x2 ﹣2x2+lnx2=﹣ +lnx2﹣x2

∴2M=﹣1+2lnx2﹣2x2,

∵x2= (0<a<

∴x2>1令v(x)=﹣1+2lnx﹣2x,v′(x)= ﹣2,

∴x>1時(shí),v′(x)<0,v(x)在(1,+∞)遞減,

∴x>1時(shí),v(x)=﹣1+2lnx﹣2x<v(1)=﹣3,

∴2M<﹣3.


【解析】(1)求出g(x)=h(x+m)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)g′(1)=0,求出m的值,從而求出g(x)的解析式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)對(duì)φ(x)求導(dǎo)數(shù),φ(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),即為2ax2﹣2x+1=0在(0,+∞)有兩個(gè)不同的實(shí)根.設(shè)p(x)=2ax2﹣2x+1=0,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式,即可得到0<a< .列表得到φ(x)的單調(diào)區(qū)間和極值的關(guān)系,即可得到極小值M,令v(x)=﹣1+2lnx﹣2x,運(yùn)用導(dǎo)數(shù),得到v(x)在(1,+∞)遞減,運(yùn)用單調(diào)性即可得到2M<﹣3.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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比分

易建聯(lián)技術(shù)統(tǒng)計(jì)

投籃命中

罰球命中

全場(chǎng)得分

真實(shí)得分率

中國(guó)91﹣42新加坡

3/7

6/7

12

59.52%

中國(guó)76﹣73韓國(guó)

7/13

6/8

20

60.53%

中國(guó)84﹣67約旦

12/20

2/5

26

58.56%

中國(guó)75﹣62哈薩克期坦

5/7

5/5

15

81.52%

中國(guó)90﹣72黎巴嫩

7/11

5/5

19

71.97%

中國(guó)85﹣69卡塔爾

4/10

4/4

13

55.27%

中國(guó)104﹣58印度

8/12

5/5

21

73.94%

中國(guó)70﹣57伊朗

5/10

2/4

13

55.27%

中國(guó)78﹣67菲律賓

4/14

3/6

11

33.05%

注:①表中a/b表示出手b次命中a次;
②TS%(真實(shí)得分率)是衡量球員進(jìn)攻的效率,其計(jì)算公式為:
TS%=

(Ⅰ)從上述9場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng),求易建聯(lián)在該場(chǎng)比賽中TS%超過50%的概率;
(Ⅱ)從上述9場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇兩場(chǎng),求易建聯(lián)在這兩場(chǎng)比賽中TS%至少有一場(chǎng)超過60%的概率;
(Ⅲ)用x來(lái)表示易建聯(lián)某場(chǎng)的得分,用y來(lái)表示中國(guó)隊(duì)該場(chǎng)的總分,畫出散點(diǎn)圖如圖所示,請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y與x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系?結(jié)合實(shí)際簡(jiǎn)單說明理由.

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比分

易建聯(lián)技術(shù)統(tǒng)計(jì)

投籃命中

罰球命中

全場(chǎng)得分

真實(shí)得分率

中國(guó)91﹣42新加坡

3/7

6/7

12

59.52%

中國(guó)76﹣73韓國(guó)

7/13

6/8

20

60.53%

中國(guó)84﹣67約旦

12/20

2/5

26

58.56%

中國(guó)75﹣62哈薩克期坦

5/7

5/5

15

81.52%

中國(guó)90﹣72黎巴嫩

7/11

5/5

19

71.97%

中國(guó)85﹣69卡塔爾

4/10

4/4

13

55.27%

中國(guó)104﹣58印度

8/12

5/5

21

73.94%

中國(guó)70﹣57伊朗

5/10

2/4

13

55.27%

中國(guó)78﹣67菲律賓

4/14

3/6

11

33.05%

注:①表中a/b表示出手b次命中a次;
②TS%(真實(shí)得分率)是衡量球員進(jìn)攻的效率,其計(jì)算公式為:
TS%=

(Ⅰ)從上述9場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng),求易建聯(lián)在該場(chǎng)比賽中TS%超過50%的概率;
(Ⅱ)從上述9場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇兩場(chǎng),求易建聯(lián)在這兩場(chǎng)比賽中TS%至少有一場(chǎng)超過60%的概率;
(Ⅲ)用x來(lái)表示易建聯(lián)某場(chǎng)的得分,用y來(lái)表示中國(guó)隊(duì)該場(chǎng)的總分,畫出散點(diǎn)圖如圖所示,請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y與x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系?結(jié)合實(shí)際簡(jiǎn)單說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的值域;

(2)當(dāng)時(shí),試討論函數(shù)的單調(diào)性;

(3)若對(duì)任意,存在,使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(1)求函數(shù)的解析式;

(2)若函數(shù)在g(x)=f(x)﹣(1+2m)x+1(mR)在上的最小值為﹣2,求m的值.

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