Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：直線(xiàn)AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：作FM∥CD交PC于M． ∵點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，
∴ ．
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．
∴ ，
又AE∥FM，
∴四邊形AEMF為平行四邊形，
∴AF∥EM，
∵AF平面PEC，EM平面PEC，
∴直線(xiàn)AF∥平面PEC．

（Ⅱ）已知∠DAB=60°，
進(jìn)一步求得：DE⊥DC，
則：建立空間直角坐標(biāo)系，
則 P（0，0，1），C（0，1，0），E（ ，0，0），
A（ ，﹣ ，0），B（ ， ，0）．
所以： ， ．
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為： ，．
∵ ，
則： ，
解得： ，
所以平面PAB的法向量為：
∵ ，
∴設(shè)向量 和 的夾角為θ，
∴cosθ= ，
∴PC平面PAB所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）首先利用中點(diǎn)引出中位線(xiàn)，進(jìn)一步得到線(xiàn)線(xiàn)平行，再利用線(xiàn)面平行的判定定理得到結(jié)論．（Ⅱ）根據(jù)直線(xiàn)間的兩兩垂直，盡力空間直角坐標(biāo)系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的數(shù)量積求出線(xiàn)面的夾角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線(xiàn)與平面平行的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角，掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則即可以解答此題．