【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)減區(qū)間為,增區(qū)間為(2)
【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,則,令,進(jìn)而求得單調(diào)區(qū)間即可;
(2)轉(zhuǎn)化問題為求在上恒成立時(shí)的取值范圍,對求導(dǎo),分類討論即可得到的值
解:(1)當(dāng)時(shí),,
所以,
令,則,
所以當(dāng)時(shí),則;當(dāng),則,
所以是上的減函數(shù),是上的增函數(shù),
故函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為
(2)解:由(1)知,
當(dāng)時(shí),對恒成立,所以是上的增函數(shù),
注意到,所以時(shí),,不合題意;
當(dāng)時(shí),令,則,所以當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故只需,
設(shè),則,
令,則,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào),
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),成立,即為所求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形,,°,底面,且,是的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)求與所成角的余弦值;
(3)求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自貢農(nóng)科所實(shí)地考察,研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植,兩種藥材,可以通過種植這兩種藥材脫貧.通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):藥材的畝產(chǎn)量約為300公斤,其收購價(jià)格處于上漲趨勢,最近五年的價(jià)格如下表:
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
單價(jià)(元/公斤) | 18 | 20 | 23 | 25 | 29 |
藥材的收購價(jià)格始終為20元/公斤,其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下:
(1)若藥材的單價(jià)(單位:元/公斤)與年份編號具有線性相關(guān)關(guān)系,請求出關(guān)于的回歸直線方程,并估計(jì)2020年藥材的單價(jià);
(2)用上述頻率分布直方圖估計(jì)藥材的平均畝產(chǎn)量,若不考慮其他因素,試判斷2020年該村應(yīng)種植藥材還是藥材?并說明理由.
參考公式:,(回歸方程中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】英語老師要求學(xué)生從星期一到星期四每天學(xué)習(xí)3個英語單詞:每周五對一周內(nèi)所學(xué)單詞隨機(jī)抽取若干個進(jìn)行檢測(一周所學(xué)的單詞每個被抽到的可能性相同)
(1)英語老師隨機(jī)抽了個單詞進(jìn)行檢測,求至少有個是后兩天學(xué)習(xí)過的單詞的概率;
(2)某學(xué)生對后兩天所學(xué)過的單詞每個能默寫對的概率為,對前兩天所學(xué)過的單詞每個能默寫對的概率為,若老師從后三天所學(xué)單詞中各抽取一個進(jìn)行檢測,求該學(xué)生能默寫對的單詞的個數(shù)的分布列和期望。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某二手車直賣網(wǎng)站對其所經(jīng)營的一款品牌汽車的使用年數(shù)x與銷售價(jià)格y(單位:萬元,輛)進(jìn)行了記錄整理,得到如下數(shù)據(jù):
(I)畫散點(diǎn)圖可以看出,z與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,請求出z與x的線性回歸方程(回歸系數(shù)精確到0.01);
(II)求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測某輛該款汽車當(dāng)使用年數(shù)為10年時(shí)售價(jià)約為多少.
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《最強(qiáng)大腦》是江蘇衛(wèi)視引進(jìn)德國節(jié)目《Super Brain》而推出的大型科學(xué)競技真人秀節(jié)目,節(jié)目籌備組透露挑選選手的方式:不但要對空間感知、照相式記憶進(jìn)行考核,而且要讓選手經(jīng)過名校最權(quán)威的腦力測試,分以上才有機(jī)會入圍,某重點(diǎn)高校準(zhǔn)備調(diào)查腦力測試成績是否與性別有關(guān),在該高校隨機(jī)抽取男、女學(xué)生各名,然后對這名學(xué)生進(jìn)行腦力測試,規(guī)定:分?jǐn)?shù)不小于分為“入圍學(xué)生”,分?jǐn)?shù)小于分為“未入圍學(xué)生”,已知男生入圍人,女生未入圍人,
(1)根據(jù)題意,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認(rèn)為腦力測試后是否為“入圍學(xué)生”與性別有關(guān).
性別 | 入圍人數(shù) | 未入圍人數(shù) | 總計(jì) |
男生 | 24 | ||
女生 | 80 | ||
總計(jì) |
(2)用分層抽樣的方法從“入圍學(xué)生”中隨機(jī)抽取名學(xué)生.
(。┣筮@名學(xué)生中女生的人數(shù);
(ⅱ)若抽取的女生的腦力測試分?jǐn)?shù)各不相同(每個人的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)),求這名學(xué)生中女生測試分?jǐn)?shù)的平均分的最小值.
附:,其中
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,四個點(diǎn),,,中有3個點(diǎn)在橢圓:上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(,不是橢圓的頂點(diǎn)),點(diǎn)在橢圓上,且,直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn),設(shè)直線,的斜率分別為,,證明:存在常數(shù)使得,并求出的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“水是生命之源”,但是據(jù)科學(xué)界統(tǒng)計(jì)可用淡水資源僅占地球儲水總量的,全世界近人口受到水荒的威脅.某市為了鼓勵居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸):一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)設(shè)該市有60萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2.5噸的人數(shù),并說明理由;
(3)若該市政府希望使的居民每月的用水不按議價(jià)收費(fèi),估計(jì)的值,并說明理由.
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