【題目】設函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(0,+∞)上,且f(1)=0,導函數(shù)f′(x)=,函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求函數(shù)g(x)的最小值;
(2)是否存在x0>0,使得不等式|g(x)-g(x0)|<對任意x>0恒成立?若存在,請求出x0的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)1;(2)滿足條件的x0不存在,理由見解析。
【解析】
(I)根據(jù)題意求出f(x)的解析式,代入g(x)=f(x)+f′(x).求出g(x),根據(jù)g′(x)得出函數(shù)g(x)的單調區(qū)間和最小值;(2) 假設存在x0>0,使|g(x)﹣g(x0)|<成立,轉化為求函數(shù)的值域,得矛盾.
(1)由題設,易知f(x)=ln x,g(x)=ln x+.
∴g′(x)=.令g′(x)=0,得x=1.
當x∈(0,1)時,g′(x)<0,故區(qū)間(0,1)是函數(shù)g(x)的單調遞減區(qū)間;
當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,故區(qū)間(1,+∞)是函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間.
∴函數(shù)g(x)的最小值為g(1)=1.
(2)滿足條件的x0不存在.理由如下:
假設存在x0>0,使得不等式|g(x)-g(x0)|<對任意x>0恒成立.
由(1)知函數(shù)g(x)的最小值為g(1)=1.
∴當x≥1時,函數(shù)g(x)的值域為[1,+∞),
從而可取一個x1>1,使g(x1)≥g(x0)+1,
即g(x1)-g(x0)≥1 故|g(x1)-g(x0)|≥1>,與假設矛盾.
∴不存在x0>0,使得不等式|g(x)-g(x0)|<對任意x>0恒成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】學校某文具商店經(jīng)營某種文具,商店每銷售一件該文具可獲利3元,若供大于求則削價處理,每處理一件文具虧損1元;若供不應求,則可以從外部調劑供應,此時每件文具僅獲利2元.為了了解市場需求的情況,經(jīng)銷商統(tǒng)計了去年一年(52周)的銷售情況.
銷售量(件) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
周數(shù) | 2 | 4 | 8 | 13 | 13 | 8 | 4 |
以去年每周的銷售量的頻率為今年每周市場需求量的概率.
(1)要使進貨量不超過市場需求量的概率大于0.5,問進貨量的最大值是多少?
(2)如果今年的周進貨量為14,寫出周利潤Y的分布列;
(3)如果以周利潤的期望值為考慮問題的依據(jù),今年的周進貨量定為多少合適?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義域為R的偶函數(shù)f(x)滿足x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且當x∈[2,3]時,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函數(shù)y=f(x)﹣loga(x+1)恰有三個零點,則a的取值范圍是( )
A.(0, )
B.(0, )
C.( , )
D.( , )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義為n個正數(shù)的“均倒數(shù)”.已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)設數(shù)列的前n項和為,若4<對一切恒成立試求實數(shù)m的取值范圍.
(3)令,問:是否存在正整數(shù)k使得對一切恒成立,如存在求出k值,否則說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料,完成數(shù)學問題.
我校高二文科班的同學到武昌農(nóng)民運動講習所研學的途中路過武漢長江大橋邊的武昌長江大堤,同學們在大堤上看到與武昌隔江相對的漢陽龜山上的電視塔和漢陽江邊的晴川飯店在朝陽的映照下顯得非常美麗,紛紛拿出手機拍照。這時帶隊的老師問大家,我要站在武昌大堤的哪一點才能夠同時拍下電視塔和晴川飯店最清晰的圖像?聽到這個問題后,同學們議論紛紛。討論一會后,一個同學對大家說:“把電視塔看成點A,飯店看成點B,武昌大堤看成直線l,C是直線l上的動點,拍照最佳點就是直線上使∠ACB最大的點.使∠ACB最大的點的求法用初中數(shù)學的一個定理:過點A,B作與直線l相切的圓,半徑較小的圓和直線l的切點就是直線l上使∠ACB最大的點!崩蠋熀屯瑢W們聽了拍手稱對;氐綄W校后,一位同學利用百度地圖測距功能測得點A到直線l距離是2km,點B到直線l距離是1.5km,A,B兩點間的距離是1km.該同學以直線l為x軸,過A點和直線l垂直的直線為y軸建立了如圖所示的坐標系,點A的坐標為(0, 2),點B在第一象限.根據(jù)以上材料,請在所給的坐標系中,在x軸上求使∠ACB最大的點的坐標.
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