Question

已知函數
（1）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求的值；
（2）是否存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m≠0）？如果存在，請求出m的取值范圍；反之，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用y=f（x）在[0，1），（1，+∞）上的單調性，及f（a）=f（b），可得1-=-1，從而求出的值；
（2）可假設存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m≠0）．再由函數y=f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0），結合（1）的結論知可判斷出a，b是方程mx-+1=0的兩個根，利用函數思想，即可得到實數m所滿足的不等式，解出實數m的取值范圍．
解答：解：（1）y=f（x）在[0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）
可得0＜a＜1＜b，且1-=-1，
∴=2；
（2）假設存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m≠0）
由[a，b]⊆（1，+∞），y=f（x）在（1，+∞）上為增函數，有
，此時a，b是方程mx-+1=0的兩個根，
而m=-，x＞1，令t=∈（0，1），m=-t²+t，⇒0＜m＜，
或t=∈（0，1），g（t）=mt²-t+1，有
⇒0＜m＜，
故存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m≠0）．m的取值范圍為：（0，）．
點評：本題的考點是函數與方程的綜合應用，考查了分段函數，函數的定義域、值域構造方程的思想，二次方程根與系數的關系等，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化，考查了推理判斷能力，是一道綜合性較強的題．