【題目】如圖,已知三棱柱中,底面,,,,.,分別為棱,的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的大。
(2)若為線段的中點(diǎn),試在圖中作出過、、三點(diǎn)的平面截該棱柱所得的多邊形,并求出以該多邊形為底,為頂點(diǎn)的棱錐的體積.
【答案】(1);(2)截面見詳解,體積為
【解析】
(1)連接交于點(diǎn),根據(jù)中位線定理找到與的平行線,并找到異面直線與所成角,計算長度,根據(jù)余弦定理,可得結(jié)果.
(2)畫出截面,計算四邊形的面積,根據(jù)//面,可得到面的距離,結(jié)合椎體體積公式,可得結(jié)果.
(1)連接交于點(diǎn),連接
如圖
由底面,面,
所以,又
所以,面
所以面,
故四邊形為矩形,所以共線
為的中點(diǎn),所以//,
故異面直線與所成角為
,,,
且,分別為棱,的中點(diǎn)
所以
所以
又且
所以為等腰直角三角形,
故
(2)取的中點(diǎn)連接,
又為線段的中點(diǎn),所以//
則//,且
過、、三點(diǎn)的平面截該棱柱
所得的多邊形為四邊形
由(1)可知,//且
所以四邊形為直角梯形,
所以
又平面,面,
所以//平面,作
所以
且到截面的距離即
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,記其質(zhì)量指標(biāo)值為,當(dāng)時,產(chǎn)品為一級品;當(dāng)時,產(chǎn)品為二級品;當(dāng)時,產(chǎn)品為三級品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為配方和配方)做實驗,各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗結(jié)果:
配方的頻數(shù)分布表
指標(biāo)值分組 | ||||
頻數(shù) | 10 | 30 | 40 | 20 |
配方的頻數(shù)分布表
指標(biāo)值分組 | |||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 30 | 40 |
(1)從配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中按等級分層抽樣抽取5件產(chǎn)品,再從這5件產(chǎn)品中任取3件,求恰好取到1件二級品的頻率;
(2)若這種新產(chǎn)品的利潤率與質(zhì)量指標(biāo)滿足如下條件:,其中,請分別計算兩種配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤率,如果從長期來看,你認(rèn)為投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與拋物線:交于,兩點(diǎn),且的面積為16(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求的方程.
(2)直線經(jīng)過的焦點(diǎn)且不與軸垂直,與交于,兩點(diǎn),若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),試問在軸上是否存在點(diǎn),使為定值?若存在,求該定值及的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行.點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設(shè),由于的值很小,因此在近似計算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】哈三中團(tuán)委組織了“古典詩詞”的知識競賽,從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生(男女各30名),將其成績分成六組,,…,,其部分頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求成績在的頻率,補(bǔ)全這個頻率分布直方圖,并估計這次考試的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ)從成績在和的學(xué)生中選兩人,求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率;
(Ⅲ)我們規(guī)定學(xué)生成績大于等于80分時為優(yōu)秀,經(jīng)統(tǒng)計男生優(yōu)秀人數(shù)為4人,補(bǔ)全下面表格,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
男 | 4 | 30 | |
女 | 30 | ||
合計 | 60 |
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某校甲、乙、丙三個興趣小組的學(xué)生人數(shù)分別為36,24,12.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取6人,進(jìn)行睡眠質(zhì)量的調(diào)查.
(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個興趣小組的學(xué)生中分別抽取多少人?
(2)設(shè)抽出的6人分別用、、、、、表示,現(xiàn)從6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步的身體檢查.
(i)試用所給字母列出所有可能的抽取結(jié)果;
(ii)設(shè)為事件“抽取的2人來自同一興趣小組”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】明初出現(xiàn)了一大批杰出的騎兵將領(lǐng),比如徐達(dá)、常遇春、李文忠、藍(lán)玉和朱棣.明初騎兵軍團(tuán)擊敗了不可一世的蒙古騎兵,是當(dāng)時世界上最強(qiáng)騎兵軍團(tuán).假設(shè)在明軍與元軍的某次戰(zhàn)役中,明軍有8位將領(lǐng),善用騎兵的將領(lǐng)有5人;元軍有8位將領(lǐng),善用騎兵的有4人.
(1)現(xiàn)從明軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng),求至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率;
(2)在明軍和元軍的將領(lǐng)中各隨機(jī)選取2人,為善用騎兵的將領(lǐng)的人數(shù),寫出的分布列,并求.
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