Question

（2011•上海模擬）為了研究某種癌細(xì)胞的繁殖規(guī)律和一種新型抗癌藥物的作用，將癌細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測，癌細(xì)胞的繁殖規(guī)律與天數(shù)的關(guān)系如下表．已知這種癌細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過10⁸時(shí)小白鼠將會死亡，注射這種抗癌藥物可殺死其體內(nèi)癌細(xì)胞的98%．

天數(shù)t	1	2	3	4	5	6	7	…
癌細(xì)胞個(gè)數(shù)N	1	2	4	8	16	32	64	…

（1）要使小白鼠在實(shí)驗(yàn)中不死亡，第一次最遲應(yīng)在第幾天注射該種藥物？（精確到1天）
（2）若在第10天，第20天，第30天，…給小白鼠注射這種藥物，問第38天小白鼠是否仍然存活？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表格可得癌細(xì)胞個(gè)數(shù)，成等比數(shù)列增長，首項(xiàng)為1，公比為2，其通項(xiàng)為a_t=2^t-1，要使小白鼠在實(shí)驗(yàn)中不死亡，可建立不等式2^t-1≤10⁸，即可求得結(jié)論；
（2）設(shè)第n次注射藥物后小白鼠體內(nèi)的這種癌細(xì)胞個(gè)數(shù)為a_n，可得a_n=2^10n-1（1-98%）ⁿ，從而可知第3次注射藥物后小白鼠體內(nèi)的這種癌細(xì)胞個(gè)數(shù)，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)表格可得癌細(xì)胞個(gè)數(shù)，成等比數(shù)列增長，首項(xiàng)為1，公比為2，其通項(xiàng)為a_t=2^t-1，
要使小白鼠在實(shí)驗(yàn)中不死亡，則2^t-1≤10⁸，即t-1≤8log₂10，解得t≤27.58，
∴第一次最遲應(yīng)在27天注射該種藥物，小白鼠在實(shí)驗(yàn)中不死亡；
（2）設(shè)第n次注射藥物后小白鼠體內(nèi)的這種癌細(xì)胞個(gè)數(shù)為a_n，
則a₁=2⁹（1-98%），且a_n+1=2¹⁰（1-98%）a_n，∴a_n=2^10n-1（1-98%）ⁿ，
于是a₃=2^10×3-1（1-98%）³，即第3次注射藥物后小白鼠體內(nèi)的這種癌細(xì)胞個(gè)數(shù)為

232

1003

到第38天小白鼠鼠體內(nèi)的這種癌細(xì)胞個(gè)數(shù)為

232

1003

×28≈1.1×10⁷＜10⁸
∴第38天小白鼠仍然存活．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列模型的運(yùn)用，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列模型．