Question

已知a＞1，設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點為m，g（x）=log_ax+x-4的零點為n，則mn的最大值為（　　）

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：由題意可得，函數(shù)y=a^x的圖象和直線y=4-x的交點的橫坐標(biāo)為m，函數(shù)y=log_ax的圖象和直線y=4-x的交點的橫坐標(biāo)為n．再根據(jù)函數(shù)y=a^x和y=log_ax互為反函數(shù)，可得點（m，4-m）與點 （n，4-n）關(guān)于直線y=x對稱，

m+n

2

=

4-m+4-n

2

，可得 m+n=4，再利用基本不等式求得mn的最大值．

解答：解：∵a＞1，設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點為m，g（x）=log_ax+x-4的零點為n，
∴函數(shù)y=a^x的圖象和直線y=4-x的交點的橫坐標(biāo)為m，
函數(shù)y=log_ax的圖象和直線4-x的交點的橫坐標(biāo)為n．
再根據(jù)函數(shù)y=a^x和y=log_ax互為反函數(shù)，可得點（m，4-m）與點 （n，4-n）關(guān)于直線y=x對稱，
∴

m+n

2

=

4-m+4-n

2

，可得 m+n=4≥2

mn

，
∴mn≤4，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時，等號成立，
故mn的最大值為4，
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系，函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．