【題目】如圖,四棱錐中, ,側(cè)面為等邊三角形, , .
(Ⅰ)證明: 平面;
(Ⅱ)求與平面所成的角的大小.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由問題,可根據(jù)線面垂直判定定理的條件要求,從題目條件去尋相關(guān)的信息,先證線線垂直,即,從而問題可得解;(Ⅱ)要求直線與平面所成角,一般步驟是先根據(jù)圖形特點(diǎn)作出所求的線面角,接著將該所在三角形的其他要素(包括角、邊或是三角形的形狀等)算出來,再三角形的性質(zhì)或是正弦定理、余弦定理來進(jìn)行運(yùn)算,從問題得于解決(類似問題也可以考慮采用坐標(biāo)法來解決).
試題解析:(Ⅰ)取的中點(diǎn)E,連接,
則四邊形為矩形,
所以,
所以,
因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形, ,
所以,且,
又因?yàn)?/span>,
所以,
所以.
又,
所以平面.
(Ⅱ)
過點(diǎn)作⊥于點(diǎn),
因?yàn)?/span>,
所以平面.
又平面,
由平面與平面垂直的性質(zhì),
知平面,
在中,由,
得,
所以.
過點(diǎn)作平面于,連接,
則即為與平面所成的角,
因?yàn)?/span>平面,
所以平面,
又平面,
所以.
在中,由,
求得.
在中, ,
所以,
由,
得,
即,
解得,
所以,
故與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓的兩焦點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn),直線與橢圓交于、兩點(diǎn),且,點(diǎn)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn),直線外的點(diǎn)滿足, .
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)試確定點(diǎn)的坐標(biāo),使得的面積最大,并求出最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌汽車的店,對(duì)最近100份分期付款購(gòu)車情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4;該店經(jīng)銷一輛該品牌汽車,若顧客分3期付款,其利潤(rùn)為1萬元;分6期或9期付款,其利潤(rùn)為2萬元;分12期付款,其利潤(rùn)為3萬元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
頻數(shù) | 20 | 20 |
(1)若以上表計(jì)算出的頻率近似替代概率,從該店采用分期付款購(gòu)車的顧客(數(shù)量較大)中隨機(jī)抽取3為顧客,求事件:“至多有1位采用分6期付款“的概率;
(2)按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人,再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取3人,記該店在這3人身上賺取的總利潤(rùn)為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中, 平面,底面為直角梯形, , , ,且為線段上的一動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)若為線段的中點(diǎn),求證: 平面;
(Ⅱ)當(dāng)直線與平面所成角小于,求長(zhǎng)度的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,我海監(jiān)船在島海域例行維權(quán)巡航,某時(shí)刻航行至處,此時(shí)測(cè)得其東北方向與它相距海里的處有一外國(guó)船只,且島位于海監(jiān)船正東海里處.
(1)求此時(shí)該外國(guó)船只與島的距離;
(2)觀測(cè)中發(fā)現(xiàn),此外國(guó)船只正以每小時(shí)海里的速度沿正南方向航行,為了將該船攔截在離島海里處,不讓其進(jìn)入島海里內(nèi)的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值.(參考數(shù)據(jù):,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次水下科研考察活動(dòng)中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè),根據(jù)已往經(jīng)驗(yàn),潛水員下潛的平均速度為(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間的用氧量為(升),在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間,每單位時(shí)間用氧量為(升),返回水面的平均速度為(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間用氧量為(升),記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為(升).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若,求當(dāng)下潛速度取什么值時(shí),總用氧量最少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為, 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程和離心率.
(2)設(shè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在軸上,動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)在軸的右側(cè).若,求四邊形面積的最小值.
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【題目】已知兩條不重合的直線和兩個(gè)不重合的平面,若,則下列四個(gè)命題:①若,則;②若,則; ③若,則;④若,則,其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了選拔參加自行車比賽的選手,對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人在相同條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)畫出莖葉圖,由莖葉圖你能獲得哪些信息;
(2)估計(jì)甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員的最大速度的平均數(shù)和方差,并判斷誰(shuí)參加比賽更合適.
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