Question

【題目】已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說(shuō)明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不在，證明見詳解；（2）

【解析】

（1）假設(shè)直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算，可得，然后驗(yàn)證可得結(jié)果.

（2）分別計(jì)算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點(diǎn)的軌跡方程，然后可得焦點(diǎn)，結(jié)合拋物線定義可得，計(jì)算可得結(jié)果.

（1）設(shè)直線方程，

根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，

則

則

由

所以

將代入上式

化簡(jiǎn)可得，所以

則直線方程為，

所以直線過(guò)定點(diǎn)，

所以可知點(diǎn)不在直線上.

（2）設(shè)

線段的中點(diǎn)為

線段的中點(diǎn)為

則直線的斜率為，

直線的斜率為

可知線段的中垂線的方程為

由，所以上式化簡(jiǎn)為

即線段的中垂線的方程為

同理可得：

線段的中垂線的方程為

則

由（1）可知：

所以

即，所以點(diǎn)軌跡方程為

焦點(diǎn)為，

所以

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大

所以