Question

已知數(shù)列{x_n}滿足x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，n∈N^*．猜想數(shù)列{x_2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,推理和證明

分析：求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答： 解：由x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，
得x₂=

2

3

，x₄=

5

8

，x₆=

13

21

，
由x₂＞x₄＞x₆，猜想：數(shù)列{x_2n}是遞減數(shù)列．                         …（4分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即x_2k＞x_2k+2，易知x_k＞0，
那么x_2k+2-x_2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

=

x2k+3-x2k+1

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

1 1+x2k+2 - 1 1+x2k

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

x2k-x2k+2

(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)

＞0，
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2，
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
結(jié)合（1）和（2）知命題成立．                                     …（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列單調(diào)性的判斷，利用數(shù)學(xué)歸納法是證明本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握歸納法的方法和步驟．