已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P 為橢圓上一點(diǎn)，直線，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；
（3）過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

(1) ;(2)相切；(3)定點(diǎn)

解析試題分析：（1）利用離心率,直線是拋物線的一條切線，所以聯(lián)立方程得到，利用橢圓中,算出.求出方程.
(2)直線與橢圓方程聯(lián)立，注意用到平方相減消，得到關(guān)于的方程，求其，利用點(diǎn)在橢圓上的條件，判定直線與橢圓的位置關(guān)系;
3. 首先取兩種特殊情形：切點(diǎn)分別在短軸兩端點(diǎn)時(shí),求其切線方程，并求他們的交點(diǎn)，交點(diǎn)有可能是恒過的定點(diǎn)，如果是圓上恒過的定點(diǎn)，如果是則需滿足，,從而判定所求交點(diǎn)是否是真正的定點(diǎn).此題屬于較難習(xí)題.
試題解析：（1）因?yàn)橹本�是拋物線的一條切線，
所以，
即        2分
又，所以，
所以橢圓的方程是.                 4分
（2）由
得
由①2+②得

∴直線l與橢圓相切                8分
（3）首先取兩種特殊情形：切點(diǎn)分別在短軸兩端點(diǎn)時(shí)，
求得兩圓的方程為，
兩圓相交于點(diǎn)（，0），（，0），
若定點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)（.
則需證：.設(shè)點(diǎn)，則橢圓過點(diǎn)P的切線方程是，
所以點(diǎn)
，
 所以.   11分
若定點(diǎn)為，
則，不滿足題意.
綜上，以線段AP為直徑的圓恒過定點(diǎn)（，0）.      13分
考點(diǎn)：1.橢圓的性質(zhì)與方程；2.直線與圓錐曲線相交時(shí)的綜合問題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)平面上給定一曲線y2=2x,
(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,求曲線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|.
(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),a∈R,求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值dmin,并寫出dmin=f(a)的函數(shù)表達(dá)式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)A(3,2), 點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段 
的垂直平分線過定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過點(diǎn)作直線(不與軸重合)交橢圓于、兩點(diǎn)，連結(jié)、分別交直線于、兩點(diǎn)，試探究直線、的斜率之積是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出；若不為定值，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問，是否存在軸上的點(diǎn)，使得對(duì)任意的，為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直線與拋物線（常數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)、，且（為定值），線段的中點(diǎn)為，與直線平行的切線的切點(diǎn)為（不與拋物線對(duì)稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)為切點(diǎn)）．

（1）用、表示出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明垂直于軸；
（2）求的面積，證明的面積與、無關(guān)，只與有關(guān)；
（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個(gè)小題后，小張連、，再作與、平行的切線，切點(diǎn)分別為、，小張馬上寫出了、的面積，由此小張求出了直線與拋物線圍成的面積，你認(rèn)為小張能做到嗎？請(qǐng)你說出理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)N滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，，，求點(diǎn)P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，

（ⅰ）設(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓G：．過點(diǎn)(m，0)作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
(2)將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．

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