【題目】在多面體中，四邊形是正方形， ， ， ， .

（Ⅰ） 求證： 平面；

（Ⅱ）在線段上確定一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為.

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，平面與平面所成角的大小為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得得即即，在中，可得即，即，由此可證明平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 平面，則平面平面

如圖，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，設(shè)平面的一個(gè)法向量，令，得

.

易知平面的一個(gè)法向量.由向量的夾角公式

， 化簡(jiǎn)得， .

即當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，平面與平面所成角的大小為.

試題解析：（Ⅰ） 四邊形是正方形， .

在中， ，即得

，即，在梯形中，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn).

， ， ，

在中，可求， ，

， .

又，

平面，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，

平面，又平面，

平面平面

如圖，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ， ， ，.

設(shè)， ，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，

即令，得

.

易知平面的一個(gè)法向量.

由已知得 ，

化簡(jiǎn)得， .

當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，平面與平面所成角的大小為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過(guò)、、三點(diǎn)的圓恰好與直線： 相切，求橢圓的方程；

（III）在（Ⅱ）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由

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【題目】在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第題的難度， 為答對(duì)該題的人數(shù)， 為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共5道客觀題，測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如表所示：

題號(hào)

1

2

3

4

5

考前預(yù)估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

測(cè)試后，從中隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表：

（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)中240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)；

（Ⅱ）從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）試題的預(yù)估難度和實(shí)測(cè)難度之間會(huì)有偏差．設(shè)為第題的實(shí)測(cè)難度，請(qǐng)用和設(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，并制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷本次測(cè)試對(duì)難度的預(yù)估是否合理．

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【題目】如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，.

（1）求證：；

（2）若直線平面，試確定點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)在正方體的上底面上運(yùn)動(dòng)，求總能使與垂直的點(diǎn)所形成的軌跡的長(zhǎng)度.（直接寫(xiě)出答案）

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【題目】（題文）（題文）“你低碳了嗎？”這是某市為倡導(dǎo)建設(shè)節(jié)約型社會(huì)而發(fā)布的公益廣告里的一句話，活動(dòng)組織者為了了解這則廣告的宣傳效果，隨機(jī)抽取了120名年齡在，，…，的市民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，由此得到的樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）根據(jù)直方圖填寫(xiě)頻率分布統(tǒng)計(jì)表；

（2）根據(jù)直方圖，試估計(jì)受訪市民年齡的中位數(shù)（保留整數(shù)）；

（3）如果按分層抽樣的方法，在受訪市民樣本年齡在中共抽取5名市民，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選2人作為本次活動(dòng)的獲獎(jiǎng)?wù)�，求年齡在和的受訪市民恰好各有一人獲獎(jiǎng)的概率.

分組

頻數(shù)

頻率

18

0.15

30

0.2

6

0.05

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【題目】大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速可以表示為函數(shù)y=log3（），單位是m/s，θ是表示魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)．

（1）當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？

（2）計(jì)算一條魚(yú)靜止時(shí)耗氧量的單位數(shù)。

（3）某條鮭魚(yú)想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來(lái)的多少倍？

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(1)求的表達(dá)式；(2)當(dāng)為何值時(shí)， 取得最大,并求最大值。

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【題目】已知函數(shù)（＞0， ≠1， ≠﹣1），是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)=1時(shí)，判斷函數(shù)在（﹣1，1）上的單調(diào)性，并給出證明；

（3）若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，已知點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)在直線:上．

（1）求邊上的高所在直線的方程；

（2）求的面積．

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