Question

（本小題滿分14分）如圖，四棱柱中，?底面ABCD，且. 梯形ABCD的面積為6，且AD//BC，AD=2BC，. 平面與交于點E.

（1）證明：EC//；

（2）求三棱錐的體積；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）解決立體幾何的有關問題，空間想象能力是非常重要的，但新舊知識的遷移融合也很重要，在平面幾何的基礎上，把某些空間問題轉化為平面問題來解決，有時很方便；（2）直線與平面平行、垂直及平面與平面平行、垂直的判定定理、性質定理的應用時，都是轉化到平面中進行的，體現了轉化與化歸思想；（3）證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形等等；(4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.

試題解析：（1）證明：因為，，

，所以. （1分）

因為，，

，所以. （2分）

又，，

，所以. （3分）

又，，

所以EC//. （4分）

（2）【解析】
因為，BC//AD，AD=2BC，所以.

（6分）

所以. （8分）

（3）如圖，以D為坐標原點，分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標系.

（9分）

設，BC=a，則AD=2a.

因為，所以.（10分）

所以，，

所以，. （11分）

設平面的一個法向量，

由，得，所以.（12分）

又平面ABCD的一個法向量， （13分）

所以，所以二面角的大小為. （14分）

考點：1、直線與直線平行的判定；2、求三棱錐的體積；3、二面角的大小.