Question

【題目】如圖，，是離心率為的橢圓的左、右焦點，直線，將線段，分成兩段，其長度之比為，設是上的兩個動點，線段的中垂線與橢圓交于兩點，線段的中點在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）設，由線段長度之比可列出等式求出c，代入離心率公式求得a，再求出b，即可求得橢圓的標準方程；（2）當直線AB斜率不存在時，直線AB的方程為，求出P、Q坐標直接求；當直線AB斜率存在時，直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出、，可求得的關于m的表達式，根據(jù)題意求出m的范圍即可求得的范圍.

（1）設，因為直線，將線段，分成兩段，其長度之比為，

所以，解得，

又離心率，所以，則，

所以橢圓C的方程為：；

（2）①當直線AB斜率不存在時，直線AB的方程為，此時PQ與x軸重合，

，因為，，

所以；

②當直線AB斜率存在時，設直線AB的斜率為k，，，

因為M是線段AB的中點，所以，，

由，整理得，

則，所以，此時直線PQ的斜率為，直線PQ的方程為：即，

設，

聯(lián)立，消去y，可得，

則，

，

直線與橢圓的交點為，

因為線段的中點在直線上，所以，則，

，即.