已知函數(shù)
f(
x)=ln
x-
.
(1)若
a>0,試判斷
f(
x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)若
f(
x)在[1,e]上的最小值為
,求
a的值;
(3)若
f(
x)<
x2在(1,+∞)上恒成立,求
a的取值范圍.
(1)
f(
x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)
(2)
a=-
.
(3)
a≥-1時(shí),
f(
x)<
x2在(1,+∞)上恒成立
試題分析:解 (1)由題意
f(
x)的定義域?yàn)?0,+∞),且
f′(
x)=
+
=
.因?yàn)?i>a>0,所以
f′(
x)>0,故
f(
x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù). 3分
(2)由(1)可知,
f′(
x)=
.
①若
a≥-1,則
x+
a≥0,即
f′(
x)≥0在[1,e]上恒成立,此時(shí)
f(
x)在[1,e]上為增函數(shù),
所以
f(
x)
min=
f(1)=-
a=
,所以
a=-
(舍去). 5分
②若
a≤-e,則
x+
a≤0,即
f′(
x)≤0在[1,e]上恒成立,此時(shí)
f(
x)在[1,e]上為減函數(shù),
所以
f(
x)
min=
f(e)=1-
=
⇒
a=-
(舍去). 7分
③若-e<
a<-1,令
f′(
x)=0得
x=-
a,當(dāng)1<
x<-
a時(shí),
f′(
x)<0,所以
f(
x)在[1,-
a]上為減函數(shù);當(dāng)-
a<
x<e時(shí),
f′(
x)>0,所以
f(
x)在[-
a,e]上為增函數(shù),所以
f(
x)
min=
f(-
a)=ln(-
a)+1=
⇒
a=-
.
綜上所述,
a=-
. 9分
(3)因?yàn)?i>f(
x)<
x2,所以ln
x-
<
x2.又
x>0,所以
a>
xln
x-
x3.
令
g(
x)=
xln
x-
x3,
h(
x)=
g′(
x)=1+ln
x-3
x2,
h′(
x)=
-6
x=
. 11分
因?yàn)?i>x∈(1,+∞)時(shí),
h′(
x)<0,
h(
x)在(1,+∞)上是減函數(shù).
所以
h(
x)<
h(1)=-2<0,即
g′(
x)<0,
所以
g(
x)在[1,+∞)上也是減函數(shù),則
g(
x)<
g(1)=-1,
所以
a≥-1時(shí),
f(
x)<
x2在(1,+∞)上恒成立. 13分
點(diǎn)評(píng):主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
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三次函數(shù)當(dāng)
是有極大值4,當(dāng)
是有極小值0,且函數(shù)過原點(diǎn),則此函數(shù)是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
.
(1)當(dāng)
時(shí),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)對(duì)任意
,
在區(qū)間
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
.
(Ⅰ)求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)直線
為曲線
的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線
的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)f(x)=x3-12x+5,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有三個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
(I)當(dāng)
時(shí),討論函數(shù)
的單調(diào)性:
(Ⅱ)若函數(shù)
的圖像上存在不同兩點(diǎn)
,
,設(shè)線段
的中點(diǎn)為
,使得
在點(diǎn)
處的切線
與直線
平行或重合,則說函數(shù)
是“中值平衡函數(shù)”,切線
叫做函數(shù)
的“中值平衡切線”.
試判斷函數(shù)
是否是“中值平衡函數(shù)”?若是,判斷函數(shù)
的“中值平衡切線”的條數(shù);若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知實(shí)數(shù)
a,
b滿足
≤
a≤1,
≤
b≤1,則函數(shù)
有極值的概率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
為常數(shù),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)
時(shí),證明
恒成立;
(Ⅱ)若
,且對(duì)于任意
,
恒成立,試確定實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若對(duì)任意的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的最小值.
(2)若
且關(guān)于
的方程
在
上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列
滿足:
求證:
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