【題目】如圖,在六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分別是棱A1B1 , B1C1的中點,平面ABCD⊥平面A1B1BA,平面ABCD平面B1BCC1 .
(1)證明:BB1⊥平面ABCD;
(2)已知六面體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長均為 ,cos∠BAD= ,設(shè)平面BMN與平面AB1D1相交所成二面角的大小為θ求cosθ.
【答案】
(1)證明:過點D作DP⊥AB,過點D作DQ⊥BC,
由平面ABCD⊥平面A1B1BA,BB1平面A1B1BA,
得DP⊥BB1,
由平面ABCD⊥平面B1BCC1,BB1平面B1BCC1,
得DQ⊥BB1,
又DP∩DQ=D,∴BB1⊥平面ABCD
(2)解:由AB=AD= ,且cos∠BAD= ,
在△ABD中利用余弦定理得BD=2,
設(shè)AC與BD的交點為O, 與B1D1的交點為O1,
以O(shè)為原點,分別以O(shè)A,OB,OO1所在直線為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,1,0),M(1, , ),N(﹣1, , ),
C(﹣2,0,0),A1(2,0, ),A(2,0,0),
B1(0,1, ),D1(0,﹣1, ),
設(shè)平面BMN的法向量為 =(a,b,c),
=(1,﹣ , ), =(﹣2,0,0),
則 ,取b=10,得 =(0,10, ),
設(shè)平面AB1D1的法向量為 =(x,y,z),
=(﹣2,1, ), =(0,﹣2,0),
則 ,取x=5,得 =(5,0,2 ),
∴cosθ= = .
【解析】(1)過點D作DP⊥AB,過點D作DQ⊥BC,推導(dǎo)出DP⊥BB1 , DQ⊥BB1 , 由此能證明BB1⊥平面ABCD.(2)設(shè)AC與BD的交點為O, 與B1D1的交點為O1 , 以O(shè)為原點,分別以O(shè)A,OB,OO1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出cosθ.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x3+ax在(﹣1,0)上是增函數(shù).
(1)求實數(shù)a的取值范圍A;
(2)當(dāng)a為A中最小值時,定義數(shù)列{an}滿足:a1∈(﹣1,0),且2an+1=f(an),用數(shù)學(xué)歸納法證明an∈(﹣1,0),并判斷an+1與an的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= +acosx,g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若f(x)在 處的切線方程為y= ,求a的值;
(2)若a≥0且f(x)在x=0時取得最小值,求a的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,當(dāng)x>0時, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB⊥AD,AD∥BC,AD= BC=2,E在BC上,且BE= AB=1,側(cè)棱PA⊥平面ABCD.
(1)求證:平面PDE⊥平面PAC;
(2)若△PAB為等腰直角三角形. (i)求直線PE與平面PAC所成角的正弦值;
(ii)求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足2f(4﹣x)=f(x)+x2﹣2,則曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 ,函數(shù) ,若函數(shù)f(x)圖象的兩個相鄰的對稱軸間的距離為 .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若△ABC滿足f(A)=1,a=3,BC邊上的中線長為3,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司準(zhǔn)備將1000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中,現(xiàn)有甲、乙兩個建設(shè)項目選擇,若投資甲項目一年后可獲得的利潤ξ1(萬元)的概率分布列如表所示:
ξ1 | 110 | 120 | 170 |
P | m | 0.4 | n |
且ξ1的期望E(ξ1)=120;若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項目建設(shè)材料的成本有關(guān),在生產(chǎn)的過程中,公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進行產(chǎn)品的價格調(diào)整,兩次調(diào)整相互獨立且調(diào)整的概率分別為p(0<p<1)和1﹣p.若乙項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次數(shù))與ξ2的關(guān)系如表所示:
X | 0 | 1 | 2 |
ξ2 | 41.2 | 117.6 | 204.0 |
(Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)求ξ2的分布列;
(Ⅲ)若該公司投資乙項目一年后能獲得較多的利潤,求p的取值范圍.
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