Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過(guò)A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D，且這個(gè)幾何體的體積為。

（1）求A₁A的長(zhǎng)；
（2）在線段BC₁上是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵·

∴AA₁=4。
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，過(guò)Q作QP∥CB交BC₁于點(diǎn)P，連接A₁P，則A₁P⊥C₁D。 ∵A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，
而QP∥CB，CB∥A₁D₁，
∴QP∥A₁D₁
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，
∴C₁D⊥平面A₁PQD₁
又∵A₁P平面A₁PQD₁，
∴A₁P⊥C₁D
易知△D₁C₁Q∽△C₁CD，
∴
∴C₁Q=1
又∵PQ∥BC，
∴
∵四邊形A₁PQD₁為直角梯形，且高
∴。