(2009•青浦區(qū)二模)(理)在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1.
求:
(1)頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離;
(2)二面角B-AC-B'的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
分析:(1)利用空間向量來求點(diǎn)到平面的距離,必須先建立空間直角坐標(biāo)系,找到已知點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量,再借助點(diǎn)到平面的距離公式d=
|
n
AD′
|
|
n
|
來計(jì)算,其中
n
為平面的法向量,
AD′
為點(diǎn)D′與平面上任意一點(diǎn)的向量.
(2)欲求二面角的大小,只需求出兩個(gè)平面的法向量的夾角,再借助圖形判斷,法向量的夾角是二面角的夾角,還是其補(bǔ)角.
解答:解:(1)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為
A(1,0,0)、D(0,0,0)、C(0,2,0)、A'(1,0,1)、B'(1,2,1)、D'(0,0,1).    
設(shè)平面B'AC的法向量為
=(u,v,w)
,則
B′A
,
B′C

因?yàn)?span id="t3hxztz" class="MathJye">
B′A
=(0,-2,-1),
B′C
=(-1,0,-1)
,
B′A
=0
,
B′C
=0
,
所以
2v+w=0
u+w=0.
解得u=2v,w=-2v,取v=1,得平面B'AC一個(gè)法向量
=(2,1,-2)
,
|
|=3
.                                                     
在平面B'AC取一點(diǎn)A,可得
AD′
=(-1,0,1)
,于是頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離d=
|
AD′
|
|
|
=
4
3
,
所以頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離為
4
3
,
(2)因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量為
n1
=(0,0,1)
,設(shè)與
的夾角為α,則cosα=
n
n1
|
n
||
n1
|
=-
2
3
,
結(jié)合圖形可判斷得二面角B-AC-B'是一個(gè)銳角,它的大小為arccos
2
3
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查空間距離、二面角的度量等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.
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3
 x-y+1=0
的傾斜角為
π
3
π
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200
200
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1  (1≤n≤2009)
-2•(
1
3
)n-2009 (n≥2010)
,設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.下列關(guān)于
lim
n→+∞
Sn
的結(jié)論,正確的是( 。

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{x|x<-1}
{x|x<-1}

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3+i
i
,則|
.
 z 
|
=
10
10

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