【題目】(2015·湖北）一種作圖工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

【答案】
（1）

曲線C的方程為。


（2）

的最小值為8.


【解析】1.
設(shè)點(diǎn),依題意，

,且所以,且,即且.由于當(dāng)點(diǎn)D不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也不動(dòng)，所以t不恒等于0，于是,故,代入,可得,即所求的曲線C的方程為。
2.
（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有.
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線,由消去,可得.因?yàn)橹本�總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以,即. ①又由可得;同理可得
.由原點(diǎn)O到直線的距離為和,可得.② 將①代入②得。當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.因，則 ,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí),的最小值為8.

【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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現(xiàn)有如下命題：
（1）對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 都有m>0；
（2）對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， ，都有n>0；
（3）對(duì)于任意的a ， 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 使得m=n；
（4）對(duì)于任意的a ， 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 使得m=-n.
其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號(hào)）.

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（1）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；
（2）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

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q：，則（ ）
A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件
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C.p是q的充分必要條件
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(2)若函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”,求實(shí)數(shù)乘積的取值范圍；

(3)已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”,若存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意的有不等式都成立,求實(shí)數(shù)的最大值.

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（1）求直線的斜率
（2）求橢圓的方程
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于 ， 求直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍

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