【題目】已知函數(shù), 為常數(shù)).

(1)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象相切,求實(shí)數(shù)的值;

(2)若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若, ,且,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】試題分析: (1)求出函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線方程,再由直線與拋物線相切, ,求出實(shí)數(shù)的值; (2)由題意構(gòu)造函數(shù) ,求出, 上有解,再由二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)求出的范圍; (3)假定 ,先分別求出函數(shù)上的單調(diào)性,將原不等式轉(zhuǎn)化為,即上為增函數(shù),求出實(shí)數(shù)的范圍.

試題解析:(1)因?yàn)?/span>,所以,因此,

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為

.

,得.

(還可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)求

(2)因?yàn)?/span>

所以,

由題意知上有解,

因?yàn)?/span>,設(shè),因?yàn)?/span>

則只要解得,

所以的取值范圍是.

(3)不妨設(shè)

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù),

所以,

函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為,且.

當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),

所以

所以,

等價(jià)于,

,

等價(jià)于 在區(qū)間上是增函數(shù),

等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,

等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,所以,又,所以.

點(diǎn)睛: 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,包括導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性,屬于中檔題.本題在第3問(wèn)中注意解題思想:等價(jià)轉(zhuǎn)換,將原不等式轉(zhuǎn)化為求上為增函數(shù),等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,分離出,轉(zhuǎn)化為求上的最小值.

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)求函數(shù)的最小正周期單調(diào)遞增區(qū)間;

)求在區(qū)間上的取值范圍

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)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率;

用分層抽樣的方法在區(qū)間內(nèi)抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任意

抽取2件產(chǎn)品,求這2件產(chǎn)品都在區(qū)間內(nèi)的概率

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常喝

不常喝

合計(jì)

肥胖

2

不肥胖

18

合計(jì)

30

已知在全部30人中隨機(jī)抽取1人,抽到肥胖的學(xué)生的概率為
(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)是否有99.5%的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)?說(shuō)明你的理由;
(3)現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中(2名女生),抽取2人參加電視節(jié)目,則正好抽到一男一女的概率是多少

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)

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(I)據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)T∈[4,8)時(shí)的中位數(shù)和平均數(shù);

(II)據(jù)此直方圖求出早高峰一至四馬路之間的3個(gè)路段至少有2個(gè)嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?/span>

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