Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、F、G分別是棱A1B1、AB、A1D1的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：GE⊥平面FCC1；
（Ⅱ）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：因?yàn)锳B=4，BC=CD=2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，

所以BF=BC=CF，△BCF為正三角形，因?yàn)锳BCD為等腰梯形，

所以∠BAD=∠ABC=60°，取AF的中點(diǎn)M，

連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD．

以DM，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（0，0，0）， ， C（0，2，0），C1（0，2，2）， ， ， ，

所以 ， ， ．

設(shè)平面CC1F的法向量為 ，則

∴ 取 ．

（Ⅰ）證明：GE的方向向量為 ，

∵ ，∴GE⊥平面FCC1．

（Ⅱ）解： ，設(shè)平面BFC1的法向量為 ，則

所以 取 ，

則 ， ， ，

所以 ，由圖可知二面角B﹣FC1﹣C為銳角，

所以二面角B﹣FC1﹣C的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意取AF得中點(diǎn)M，連接DM得出DM⊥CD根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可得證。（Ⅱ）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面BFC1和平面CC1F的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值即可。。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．