Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x-2+

1

x-4

的圖象為c₁，c₁關(guān)于點(diǎn)A（2，1）對(duì)稱的圖象為c₂，c₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x）．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）解不等式logag(x)≤loga

5

2

(a＞0，a≠1)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知方程，即可求出所求對(duì)稱的函數(shù)的解析式．
（2）直接轉(zhuǎn)化不等式，通過a的范圍討論大于1與a大于0小于1時(shí)，不等式的等價(jià)形式，然后求解即可．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)y=g（x）的圖象上任意一點(diǎn)為（x，y），
則關(guān)于A（2，1）的對(duì)稱點(diǎn)為（4-x，2-y），
又（4-x，2-y）在f(x)=x-2+

1

x-4

的圖象上，
所以，2-y=（4-x）-2+

1

(4-x)-4

=x+

1

x

，
即g（x） 的表達(dá)式為g（x）=x+

1

x

，（x≠0）．
（2）原不等式化為loga(x+

1

x

)≤loga

5

2

，
當(dāng)1＜a時(shí)，有

x+ 1 x ＞0 x+ 1 x ≤ 5 2

，
解得

1

2

≤x≤2，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有

x+ 1 x ＞0 x+ 1 x ≥ 5 2

，解得0＜x≤

1

2

或x＞2，
綜上當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|

1

2

≤x≤2}，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|0＜x≤

1

2

或x＞2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)的解析式的求法，對(duì)數(shù)不等式的解法，分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．