設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)M(2.
2
)，N(
6
，1)，O為坐標(biāo)原點
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個交點A，B且
OA
⊥
OE
？若存在，寫出該圓的方程，關(guān)求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由．
分析：（1）把點M和N代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得a和b，進(jìn)而可得橢圓E的方程．
（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
OA
⊥
OB
，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，直線和橢圓方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)判別式大于0求得k和m的不等式關(guān)系，再根據(jù)使
OA
⊥
OB
，需使x1x2+y1y2=0，分別用k和m分別表示出x1x2和y1y2進(jìn)而可求得k和m的關(guān)系，代入k和m的不等式關(guān)系中求得m的范圍，因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，求得半徑，圓的方程可得．此時圓的切線y=kx+m都滿足，進(jìn)而判定存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
OA
⊥
OB
．最后用k表示出|AB|，根據(jù)k的范圍確定|AB|的范圍．
解答：解：（1）因為橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）
過M（2，
2
），N（
6
，1）兩點，
所以
4
a2
+
2
b2
=1
6
a2
+
1
b2
=1
解得
1
a2
=
1
8
1
b2
=
1
4

所以
a2=8
b2=4
橢圓E的方程為
x2
8
+
y2
4
=1
（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，
且
OA
⊥
OB
，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m解方程組
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1

得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
則△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，
即8k2-m2+4＞0
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-8
1+2k2
，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
k2(2m2-8)
1+2k2
-
4k2m2
1+2k2
+m2=
m2-8k2
1+2k2

要使
OA
⊥
OB
，
需使x1x2+y1y2=0，
即
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0，
所以3m2-8k2-8=0，所以k2=
3m2-8
8
≥0又8k2-m2+4＞0，
所以
m2＞2
3m2≥8
，所以m2≥
8
3
，
即m≥
2
6
3
或m≤-
2
6
3
，
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=
|m|
1+k2
，
r2=
m2
1+k2
=
m2
1+
3m2-8
8
=
8
3
，
r=
2
6
3
，所求的圓為x2+y2=
8
3
，
此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥
2
6
3
或m≤-
2
6
3
，
而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為x=±
2
6
3
與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1的兩個交點為(
2
6
3
，±
2
6
3
)或(-
2
6
3
，±
2
6
3
)滿足
OA
⊥
OB
，綜上，
存在圓心在原點的圓x2+y2=
8
3
，
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
OA
⊥
OB
．
因為
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-8
1+2k2
，
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-
4km
1+2k2
)2-4×
2m2-8
1+2k2
=
8(8k2-m2+4)
(1+2k2)2
，|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(1+k2)(x1-x2)2
=
(1+k2)
8(8k2-m2+4)
(1+2k2)2
=
32
3
•
4k4+5k2+1
4k4+4k2+1
=
32
3
[1+
k2
4k4+4k2+1
]
，
①當(dāng)k≠0時|AB|=
32
3
[1+
1
4k2+
1
k2
+4
]

因為4k2+
1
k2
+4≥8所以0＜
1
4k2+
1
k2
+4
≤
1
8
，
所以
32
3
＜
32
3
[1+
1
4k2+
1
k2
+4
]≤12，
所以
4
3
6
＜|AB|≤2
3
當(dāng)且僅當(dāng)k=±
2
2
時取”=”．
2當(dāng)k=0時，|AB|=
4
6
3
點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過M（2，
2
），N（
6
，1）兩點，O為坐標(biāo)原點，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且
OA 
⊥
OB 
？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，A是橢圓E上一點，AF1⊥F1F2，原點到直線AF2的距離是
1
3
|OF1|．△AF1F2 的面積是等于橢圓E的離心率e，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ），若直線l：y=x+m與橢圓E交于B、C兩點，問：是否存在實數(shù)m使∠BF2C為鈍角？如果存在，求出m的范圍；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，已知A（a，0），B（0，-b），且原點O到直線AB的距離為
2
3
3

（Ⅰ）  求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過點M（1，0）的直線交橢圓E于C，D兩點，若存在動點N，使得直線NC，NM，ND的斜率依次成等差數(shù)列，試確定點N的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且過點M（2，
2
），O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在以圓心為原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且
OA
⊥
OB
？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

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