Question

（2012•安徽模擬）設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過M（2，

2

），N（

6

，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓E過M、N，知

4 a2 + 2 b2 =1 6 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出橢圓E．
（2）假設(shè)存在這樣的圓，設(shè)該圓的切線為y=kx+m，由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，知（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理能求出|AB|取值范圍．

解答：解：（1）橢圓E過M、N
∴

4 a2 + 2 b2 =1 6 a2 + 1 b2 =1

∴

a2=8 b2=4

∴橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1（5分）
（2）假設(shè)存在這樣的圓，設(shè)該圓的切線為y=kx+m，由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

∴（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
當(dāng)△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-8 1+2k2

y1y2=( kx1+m ) ( kx2+m )=k2x1x2+km ( x1+x2)+m2=

m2-8k2

1+2k2

，要使

OA

⊥

OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0∴

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0
∴3m²-8k²-8=0∴k2=

3m2-8

8

≥0
又 8k²-m²+4＞0∴

m2＞2 3m2≥8

∴m2≥

8

3

∴m≥

2 6

3

 或 m≤-

2 6

3

又y=kx+m與圓心在原點(diǎn)的圓相切
∴r=

|m|

1+k2

，即r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，r=

2 6

3

∴所求圓：x2+y2=

8

3

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線為x=±

2 6

3

，與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1交于（

2 6

3

，±

2 6

3

）
或（-

2 6

3

，±

2 6

3

），滿足

OA

⊥

OB

綜上：存在這樣的圓x2+y2=

8

3

滿足條件 （9分）
∵|AB| =

1+k2

|x1-x2| =

32 (4k4+5k2+1) 3 (4k4+4k2+1)

=

32 3 ( 1+ k2 4k4+4k2+1  )

當(dāng)k≠0時(shí)，|AB|=

32 3 (1+ 1 4k2+ 1 k2 +4 )

∴

4 6

3

＜ |AB| ≤2

3

（當(dāng)k=±

2

2

時(shí)取等）
當(dāng)k=0時(shí)，|AB| =

4

3

6

當(dāng)k不存時(shí)，|AB| =

4

3

6

∴|AB| ∈[ 

4

3

6

 ，  2

3

 ]（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．