【題目】如圖,已知長方形ABCD中,AB=2 ,AD= ,M為DC的中點.將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求證:AD⊥BM;
(2)若點E是線段DB上的一動點,問點E在何位置時,二面角E﹣AM﹣D的余弦值為 .
【答案】
(1)證明:∵長方形ABCD中, , ,M為DC的中點,
∴AM=BM=2,∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM平面ABCM,
∴BM⊥平面ADM,
∵AD平面ADM,∴AD⊥BM
(2)證明:以O為原點,OA為x軸,ON為y軸,OD為z軸,
建立如圖所示的直角坐標系
設 ,則平面AMD的一個法向量 ,
=(1﹣λ,2λ,1﹣λ), ,
設平面AME的一個法向量 ,
則 ,∴
取y=1,得x=0,y=1, ,∴ ,
∵ = .∴得 或λ=﹣1,經(jīng)檢驗得 滿足題意.
∴E為BD的三等分點.
【解析】(1)推導出BM⊥AM,從而BM⊥平面ADM,由此能證明AD⊥BM.(2)以O為原點,OA為x軸,ON為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出E為BD的三等分點.
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系,需要了解相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知cos(π+α)= ,且 <α<π.
(Ⅰ)求5sin(α+π)﹣4tan(3π﹣α)的值
(Ⅱ)若0<β< ,cos(β﹣α)= ,求sin( +2β)的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},以下命題正確的序號是 .
①如果函數(shù)f(x)=x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a7),其中ai∈M(i=1,2,3,…,7),那么f′(0)的最大值為127 .
②數(shù)列{an}滿足首項a1=2,ak+12﹣ak2=2,k∈N* , 當n∈M且n最大時,數(shù)列{an}有2048個.
③數(shù)列{an}(n=1,2,3,…,8)滿足a1=5,a8=7,|ak+1﹣ak|=2,k∈N* , 如果數(shù)列{an}中的每一項都是集合M的元素,則符合這些條件的不同數(shù)列{an}一共有33個.
④已知直線amx+any+ak=0,其中am , an , ak∈M,而且am<an<ak , 則一共可以得到不同的直線196條.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】直線mx+ y﹣1=0在y軸上的截距是﹣1,且它的傾斜角是直線 =0的傾斜角的2倍,則( )
A.m=﹣ ,n=﹣2
B.m= ,n=2
C.m= ,n=﹣2
D.m=﹣ ,n=2
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】曲線C:ρ2﹣2ρcosθ﹣8=0 曲線E: (t是參數(shù))
(1)求曲線C的普通方程,并指出它是什么曲線.
(2)當k變化時指出曲線K是什么曲線以及它恒過的定點并求曲線E截曲線C所得弦長的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E , F分別為棱AB , CC1的中點,則在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線( )
A.不存在
B.有1條
C.有2條
D.有無數(shù)條
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【題目】已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826,若μ=4,σ=1,則P(5<X<6)=( )
A.0.1358
B.0.1359
C.0.2716
D.0.2718
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