Question

數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=（-1）ⁿ•n•sin

nπ

2

+1，前n項(xiàng)和為S_n，則S₁₀₀=

 

．

Answer 1

分析：n為偶數(shù)時(shí)，sin

nπ

2

=0；n=4k+1，k∈Z時(shí)，sin

nπ

2

=1；n=4k+3，k∈Z時(shí)，sin

nπ

2

=-1；由此利用數(shù)列的周期性能求出S₁₀₀．

解答：解：∵n為偶數(shù)時(shí)，sin

nπ

2

=0
∴a_n=nsin

nπ

2

+1=1，
n為奇數(shù)時(shí)，若n=4k+1，k∈Z，
則sin

nπ

2

=sin（2kπ+

π

2

）=1，
∴a_n=-n+1，
若n=4k+3，k∈Z，則sin

nπ

2

=sin（2kπ+

3π

2

）=-1，
∴a_n=n+1，
∴不妨以四項(xiàng)為一個(gè)整體
∴a_4k+1+a_4k+2+a_4k+3+a_4k+4
=-（4k+1）+1+1+（4k+3）+1+1=6
∴S₁₀₀=

100

4

×6=150．
故答案為：150．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前100項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的周期性的合理運(yùn)用．