Question

已知m∈C，關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+4+3i=0恒有非零實(shí)根，且當(dāng)x=a（a∈R，a≠0）時(shí)，|m|取得最小值，記z=5-

5

|a|i，求復(fù)數(shù)

.

Z

•（1-bi）（b≥1）的輻角主值的取值范圍．

Answer 1

分析：首先寫(xiě)出m的表示形式，表示出模長(zhǎng)，根據(jù)均值不等式得到m的最小值，做出其對(duì)應(yīng)的a的值，寫(xiě)出復(fù)數(shù)的表示式，對(duì)于b的取值進(jìn)行討論，根據(jù)實(shí)部和虛部的范圍，寫(xiě)出幅角的范圍，表示出幅角．

解答：解：設(shè)x₀為非零實(shí)數(shù)，由已知可得：
|m|=|x₀+

4

x0

+

3

x0

i|=

x 0 2 + 5 x 0 2 +8

≥

18

=3

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=±

5

時(shí)，|m|取最小值，|a|=

5

．
∴z=5-5i，
∴

.

z

（1-bi）=（5+5b）+（5-5b）i
①當(dāng)b=1時(shí)，

.

z

（1-bi）=10，輻角主值為0．
②當(dāng)b＞1時(shí)，

.

z

（1-bi）的實(shí)部大于0，虛部小于0．其輻角主值在（

3π

2

，2π）內(nèi)，
此時(shí)，arg〔

.

z

（1-bi）〕=2π+arctg（

2

1+b

-1）
∵b＞1，
∴-1＜

2

1+b

-1＜0，
∴-

π

4

＜arctg（

2

1+b

-1）＜0，
∴

7π

4

＜arg〔

.

z

（1-bi）〕＜2π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，考查均值不等式，考查復(fù)數(shù)的三角形式，考查幅角的主值，是一個(gè)綜合題，這種綜合題并不多見(jiàn)，注意這種題目的解答過(guò)程．