Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（n∈N*）

（Ⅰ）證明當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{nan}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；

（Ⅱ）求數(shù)列{n2an}的前n項(xiàng)和Tn；

（Ⅲ）對(duì)任意n∈N*，使得 恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)

【解析】

（Ⅰ）要證明數(shù)列{nan}是等比數(shù)列，應(yīng)先求其通項(xiàng)公式，然后用等比數(shù)列定義證明即可。由等比數(shù)列通向公式可求得數(shù)列{nan}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（Ⅱ）要求數(shù)列{n2an}的前n項(xiàng)和Tn，應(yīng)根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果求其通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可用錯(cuò)位相減法求數(shù)列從第二項(xiàng)到第n項(xiàng)的和，再加第一項(xiàng)可得結(jié)果；（Ⅲ） 根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果，不等式可變?yōu)?/span>，利用基本不等式，可求得不等式右邊的最大值為。可求實(shí)數(shù)λ的最小值為。

（Ⅰ）[證明]：由a1+2a2+3a3+…+nan=，得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n≥2），

①﹣②：，即（n≥2），∴當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{nan}是等比數(shù)列，

又a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=，得a2=1，則2a2=2，∴，

∴（n≥2），∴；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，

∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2，則，

兩式作差得：，得：；

（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，

即對(duì)任意n∈N*恒成立．

當(dāng)n=2或n=3時(shí)n+有最小值為5，有最大值為，故有λ≥，∴實(shí)數(shù)λ的最小值為．