Question

如圖，P為菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N 分別為AD、PB 的中點(diǎn)，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，∠DAB=60°求證：
（1）MN∥平面PCD
（2）AD⊥PB  
（3）求三棱錐D-PBC的體積．

Answer 1

分析：（1）再取PC的中點(diǎn)Q，證明四邊形MNQD為平行四邊形，可得AM∥DQ，再利用直線和平面平行的判定定理證明 MN∥平面PCD．
（2）由條件可得AN是等腰三角形PAB的底邊上的中線，故有AN⊥PB．同理可得，DN⊥PB．利用直線和平面垂直的判定定理可得PB⊥平面AND，從而證得AD⊥PB．
（3）先證得PM⊥平面ABCD，可得PM為三棱錐P-DBC的高線，再根據(jù)V_D-PBC=V_P-BCD=

1

3

•S_△BCD•PM，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）再取PC的中點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD為菱形，M、N 分別為AD、PB 的中點(diǎn)，∴MD平行且等于

1

2

BC，NQ平行且等于

1

2

BC，
故MD和NQ平行且相等，故四邊形MNQD為平行四邊形，故 AM∥DQ．
再由 DQ?平面PCD，AM不在平面 PCD內(nèi)，可得 MN∥平面PCD．
（2）∵四邊形ABCD為菱形，PA=PD=AD=2，∠DAB=60°，∴PA=PD=AD=2=AB=BD=CD，
故AN是等腰三角形PAB的底邊上的中線，故有AN⊥PB．
同理可得，DN⊥PB．
由于AN和 DN是平面 AND內(nèi)的兩條相交直線，故有PB⊥平面AND．
而AD?平面AND，∴AD⊥PB．
（3）由于平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是邊長為2的等邊三角形，M為AD的中點(diǎn)，故有PM⊥平面ABCD，
故PM為三棱錐P-DBC的高線，且PM=

3

2

AD=

3

，
∴V_D-PBC=V_P-BCD=

1

3

•S_△BCD•PM=

1

3

•（

1

2

•BC•CDsin60°）•PM=

1

3

×（

1

2

×2×2×

3

2

）•

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，證明兩條直線垂直、以及用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．