Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx+k

ex

(k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f^′（1）=0，則k值可求；
（2）求出函數(shù)的定義域，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于0求出極值點(diǎn)，借助于導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

lnx+k

ex

，所以f′(x)=

(lnx+k)′•ex-(lnx+k)•ex

e2x

=

1 x •ex-lnx•ex-k•ex

e2x

，
因?yàn)榍�線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，
所以f^′（1）=0，即

e-e•ln1-ke

e2

=0，解得k=1；
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由f′(x)=

( 1 x -lnx-1)ex

e2x

，
令g（x）=

1

x

-lnx-1，此函數(shù)只有一個零點(diǎn)1，且當(dāng)x＞1時，g（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＞0，
所以當(dāng)x＞1時，f^′（x）＜0，所以原函數(shù)在（1，+∞）上為減函數(shù)；當(dāng)0＜x＜1時，f^′（x）＞0，所以原函數(shù)在（0，1）上為增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．