Question

對函數y=f（x）（x₁≤x≤x₂），設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是圖象上的兩端點，O為坐標原點，且點N滿足=+（1-λ），λ≥0，點M（x，y）在函數y=f（x）的圖象上，且x=λx₁+（1-λ）x₂，則稱|MN|的最大值為函數的“高度”，則函數f（x）=x²-2x-1在區(qū)間[-1，3]上的“高度”為    ．

Answer 1

【答案】分析：利用向量共線即可得出點N的坐標及λ的取值范圍、利用兩點間的距離公式即可得出|MN|、再二次函數的單調性即可得出．
解答：解：由函數f（x）=x²-2x-1及區(qū)間[-1，3]可得區(qū)間端點A（-1，2），B（3，2）．
∴=（3-4λ，2），∴N（3-4λ，2）；
∵點N滿足=+（1-λ），λ≥0，∴0≤λ≤1．
∴x_M=3-4λ，y_M=（3-4λ）²-2（3-4λ）-1=16λ²-16λ+2，
∴|MN|==|16λ²-16λ|=，
∵λ∈[0，1]，∴，，
∴|MN|≤4．
∴函數f（x）=x²-2x-1在區(qū)間[-1，3]上的“高度”為4．
故答案為4．
點評：正確理解新定義、向量共線、二次函數的單調性是解題的關鍵．