對函數(shù)y=f(x)(x1≤x≤x2),設點A(x1,y1)、B(x2,y2)是圖象上的兩端點,O為坐標原點,且點N滿足
ON
=λ
OA
+(1-λ)
OB
,λ≥0,點M(x,y)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,且x=λx1+(1-λ)x2,則稱|MN|的最大值為函數(shù)的“高度”,則函數(shù)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間[-1,3]上的“高度”為
4
4
分析:利用向量共線即可得出點N的坐標及λ的取值范圍、利用兩點間的距離公式即可得出|MN|、再二次函數(shù)的單調性即可得出.
解答:解:由函數(shù)f(x)=x2-2x-1及區(qū)間[-1,3]可得區(qū)間端點A(-1,2),B(3,2).
ON
=λ(-1,2)+(1-λ)(3,2)
=(3-4λ,2),∴N(3-4λ,2);
∵點N滿足
ON
=λ
OA
+(1-λ)
OB
,λ≥0,∴0≤λ≤1.
∴xM=3-4λ,yM=(3-4λ)2-2(3-4λ)-1=16λ2-16λ+2,
∴|MN|=
0+(16λ2-16λ)2
=|16λ2-16λ|=16|(λ-
1
2
)2-
1
4
|

∵λ∈[0,1],∴0≤(λ-
1
2
)2
1
4
|(λ-
1
2
)2-
1
4
|
∈[0,
1
4
]

∴|MN|≤4.
∴函數(shù)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間[-1,3]上的“高度”為4.
故答案為4.
點評:正確理解新定義、向量共線、二次函數(shù)的單調性是解題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對函數(shù)y=f(x)=4sin(2x+
π
3
)(x∈R)有下列命題:
①函數(shù)y=f(x)的表達式可改寫為y=4cos(2x-
π
6

②函數(shù)y=f(x)是以2π為最小正周期的周期函數(shù)
③函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(-
π
6
,0)對稱
④函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=-
π
6
對稱
其中正確的命題是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

我們給出如下定義:對函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在常數(shù)C(C∈R),對任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)
2
=C
,則稱函數(shù)f(x)為“和諧函數(shù)”,稱常數(shù)C為函數(shù)f(x)的“和諧數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否為“和諧函數(shù)”?答:
 
.(填“是”或“否”)如果是,寫出它的一個“和諧數(shù)”:
 
.(4分)
(2)證明:函數(shù)g(x)=lgx,x∈[10,100]為“和諧函數(shù)”,
3
2
是其“和諧數(shù)”;
(3)判斷函數(shù)u(x)=x2,x∈R是否為和諧函數(shù),并作出證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若對函數(shù)y=f(x)定義域內的每一個值x1,都存在唯一的值x2,使得f(x1)f(x2)=1成立,則稱此函數(shù)為“黃金函數(shù)”,給出下列三個命題:
①y=x-2是“黃金函數(shù)”;
②y=lnx是“黃金函數(shù)”;
③y=2x是“黃金函數(shù)”,
其中正確命題的序號是

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)y=sin(2x+
π
2
)+1,x∈R
,則對函數(shù)y=f(x)描述正確的是(  )

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