【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,AC⊥BC,過(guò)點(diǎn)C的直線VC垂直于平面ABC,D、E分別為線段VA、VC上異于端點(diǎn)的點(diǎn).
(1)當(dāng)DE⊥平面VBC時(shí),判斷直線DE與平面ABC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)D、E、F分別為線段VA、VC、AB上的中點(diǎn),且VC=2BC時(shí),求二面角B﹣DE﹣F的余弦值.
【答案】
(1)解:DE∥平面ABC.
∵VC平面VBC,DE⊥平面VBC,
∴DE⊥VC,
∵VC⊥平面ABC,∴VC⊥AC,
∵DE⊥VC,VC⊥AC,∴DE∥AC,
∵DE平面ABC,AC平面ABC,
∴DE∥平面ABC;
(2)解:∵DE⊥平面VBC,∴DE⊥BE,DE⊥VB,
∵D,F(xiàn)分別為VA,AB的中點(diǎn),
∴DF∥VB,∴DE⊥DF,
∴BE,DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小.
∵VC=2BC,∴VE=BC,VB= BC,∴BE= BC,
∴cos∠VBE= = ,
∴二面角B﹣DE﹣F的余弦值為 .
【解析】(1)證明DE∥AC,即可判斷直線DE與平面ABC的位置關(guān)系;(2)BE,DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小,利用余弦定理,即可求解.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解空間中直線與平面之間的位置關(guān)系(直線在平面內(nèi)—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn);直線與平面相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn);直線在平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠BAD= ,AB=2,AD=1,若M、N分別是邊AD、CD上的點(diǎn),且滿足 =λ,其中λ∈[0,1],則 的取值范圍是( )
A.[﹣3,﹣1]
B.[﹣3,1]
C.[﹣1,1]
D.[1,3]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三國(guó)魏人劉徽,自撰《海島算經(jīng)》,專論測(cè)高望遠(yuǎn).其中有一題:今有望海島,立兩表齊,高三丈,前後相去千步,令後表與前表相直.從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合.從後表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問(wèn)島高幾何?譯文如下:要測(cè)量海島上一座山峰A的高度AH,立兩根高三丈的標(biāo)桿BC和DE,前后兩桿相距BD=1000步,使后標(biāo)桿桿腳D與前標(biāo)桿桿腳B與山峰腳H在同一直線上,從前標(biāo)桿桿腳B退行123步到F,人眼著地觀測(cè)到島峰,A、C、F三點(diǎn)共線,從后標(biāo)桿桿腳D退行127步到G,人眼著地觀測(cè)到島峰,A、E、G三點(diǎn)也共線,則山峰的高度AH=( ) 步(古制:1步=6尺,1里=180丈=1800尺=300步)
A.1250
B.1255
C.1230
D.1200
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn)x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2.
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底, 是的中點(diǎn)。
(1)證明:直線平面;
(2)點(diǎn)在棱上,且直線與底面所成角為,求二面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小明想將短軸長(zhǎng)為2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的一個(gè)半橢圓形紙片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE內(nèi)接于半橢圓,DE∥AB,AB為短軸,OC為長(zhǎng)半軸
(1)求梯形ABDE上底邊DE與高OH長(zhǎng)的關(guān)系式;
(2)若半橢圓上到H的距離最小的點(diǎn)恰好為C點(diǎn),求底邊DE的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中,平面α與棱AB,AC,A1C1 , A1B1分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),G,H,且直線AA1∥平面α.有下列三個(gè)命題:①四邊形EFGH是平行四邊形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正確的命題有( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)為不同的兩點(diǎn),直線的方程為,設(shè),其中均為實(shí)數(shù).下列四個(gè)說(shuō)法中:
①存在實(shí)數(shù),使點(diǎn)在直線上;
②若,則過(guò)兩點(diǎn)的直線與直線重合;
③若,則直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn);
④若,則點(diǎn)在直線的同側(cè),且直線與線段的延長(zhǎng)線相交.
所有結(jié)論正確的說(shuō)法的序號(hào)是______________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓M過(guò)C(1,-1),D(-1,1)兩點(diǎn),且圓心M在x+y-2=0上.
(1)求圓M的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點(diǎn),求四邊形PAMB面積的最小值.
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