如圖，三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.

（Ⅰ）當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí)，求證：CF∥平面AEB1；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A—EB1—B的余弦值是，若存在，求CE的長，若不存在，請(qǐng)說明理由.

（Ⅰ）詳見試題解析;（Ⅱ）在棱上存在點(diǎn)使得二面角A—EB1—B的余弦值是，且

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)直線平行平面的判定定理，需要在平面AEB1內(nèi)找一條與CF平行的直線.根據(jù)題設(shè)，可取的中點(diǎn)，通過證明四邊形是平行四邊形來證明，從而使問題得證；（Ⅱ）由于兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解.
試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)
∵分別是棱、的中點(diǎn)，
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∴
∵平面，平面
∴平面
（Ⅱ）解：由于兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示
則
設(shè) ，平面的法向量，
則
由
得,取得：
∵平面
∴是平面的法向量，則平面的法向量
∵二面角的平面角的余弦值為
∴
解之得
∴在棱上存在點(diǎn)使得二面角A—EB1—B的余弦值是，且.
考點(diǎn)：1、直線與平面平等的判定；2、二面角；3、空間向量的應(yīng)用.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

正方體的棱長為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(     )

A．
B．三棱錐的體積為定值
C．二面角的大小為定值
D．異面直線所成角為定值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱中，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，已知，，．

（1）求證：平面；
（2）設(shè)點(diǎn)在棱上，當(dāng)為何值時(shí)，平面平面？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中點(diǎn)．

（1）求證：AC⊥B1C；
（2）求證：AC1∥平面B1CD；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱錐中，底面是個(gè)邊長為的正方形，側(cè)棱底面，且，是的中點(diǎn).

（I）證明：平面；
（II）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝。

（I）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（II）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（III）在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q（除去端點(diǎn)），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝，AD＝1.

（I）求證：CD⊥平面PAC；
（II）側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置，并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知如圖，平行四邊形中，，，，正方形所在平面與平面垂直，分別是的中點(diǎn)。

⑴求證：平面；
⑵求平面與平面所成的二面角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,四棱錐的底面是正方形,棱底面,,是的中點(diǎn)．

(1)證明平面；
(2)證明平面平面.

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