Question

1．已知函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）-x，g（x）=log₂a+log₂（2^x-$\frac{4}{3}$）（a＞0，x＞1）．
（1）證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）-g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求解定義域，利用定義進(jìn)行判斷即可．
（2）函數(shù)f（x）-g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）=g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，化簡(jiǎn)計(jì)算，轉(zhuǎn)化成二次方程問題求解．

解答 解：（1）證明：f（x）的定義域是R，
f（-x）=log₂（4^-x+1）+x
=log₂$\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$+x
=log₂（4^x+1）-log₂2^2x+x
=log₂（4^x+1）-2x+x
=f（x），
故f（x）在R是偶函數(shù)；
（2）由題意：函數(shù)f（x）-g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）=g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，
可得：log₂（4^x+1）-x=log₂a+log₂（2^x-$\frac{4}{3}$）（a＞0）
整理得：$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}•（{2}^{x}-\frac{4}{3}）}=a$．
即：$（a{-1）4}^{x}-\frac{4a}{3}•{2}^{x}-1=0$
令2^x=t
∵x＞1，
∴t＞2
轉(zhuǎn)化為f（t）=$（a-1）{t}^{2}-\frac{4a}{3}t-1$（t＞2）與x軸的交點(diǎn)問題．
當(dāng)a-1=0，即a=1時(shí)，f（t）=$-\frac{4a}{3}t-1$
∵t＞2，∴f（t）恒小于0，與x軸沒有交點(diǎn)．
當(dāng)a-1＞0，即a＞1時(shí)，f（t）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，需那么f（2）＜0．
解得：$a＜\frac{15}{4}$，
所以：$1＜a＜\frac{15}{4}$．
當(dāng)a-1＜0，即0＜a＜1時(shí)，f（t）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，需那么f（2）＞0，此時(shí)無(wú)解．
綜上所得：函數(shù)f（x）-g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算和化簡(jiǎn)能力，轉(zhuǎn)化思想，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題．屬于中檔題．