【題目】已知橢圓的標準方程是,設是橢圓的左焦點,為直線上任意一點,過的垂線交橢圓于點,.

1)證明:線段平分線段(其中為坐標原點);

2)當最小時,求點的坐標.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)由橢圓的標準方程可得的坐標,設點坐標為,可得直線的斜率,討論兩種情況,設直線的方程是,;聯(lián)立直線與橢圓方程,即可用表示點的坐標,即可證明結(jié)論.

2)由(1)結(jié)合弦長公式,表示出,即可得,結(jié)合基本不等式即可求得最小值及最小值時的值,進而得點的坐標.

1)證明:橢圓的標準方程是

是橢圓的左焦點,為直線上任意一點,

所以得坐標為,設點坐標為

則直線的斜率,

時,直線的斜率,

直線的方程是

時,直線的方程

也符合方程的形式,

,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得:

消去,

的中點的坐標為,

,

所以直線的斜率,又因為直線的斜率,

所以點在直線上,因此線段平分線段.

2)由(1)知,,

所以,

當且僅當,

時等號成立,此時取得最小值,

點的坐標為

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓軸交于 兩點,且

(1)求橢圓的方程;

(2)設點是橢圓上的一個動點,且直線與直線分別交于 兩點.是否存在點使得以 為直徑的圓經(jīng)過點?若存在,求出點的橫坐標;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中.

1)當時,求證:過原點且與曲線相切的直線有且只有一條;

2)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】給定橢圓,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓準圓”.若橢圓的一個焦點為,其短軸上的一個端點到的距離為.

1)求橢圓的方程和其準圓方程;

2)點是橢圓準圓上的動點,過點作橢圓的切線準圓于點.

①當點準圓軸正半軸的交點時,求直線的方程并證明;

②求證:線段的長為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期,我市教育局提出“停課不停學”的口號,鼓勵學生線上學習.某校數(shù)學教師為了調(diào)查高三學生數(shù)學成績與線上學習時間之間的相關關系,對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤問卷,其中每周線上學習數(shù)學時間不少于5小時的有19人,余下的人中,在檢測考試中數(shù)學平均成績不足120分的占,統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表:

分數(shù)不少于120

分數(shù)不足120

合計

線上學習時間不少于5小時

4

19

線上學習時間不足5小時

合計

45

1)請完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關”;

2)①按照分層抽樣的方法,在上述樣本中從分數(shù)不少于120分和分數(shù)不足120分的兩組學生中抽取9名學生,設抽到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);

②若將頻率視為概率,從全校高三該次檢測數(shù)學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人,求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.

(下面的臨界值表供參考)

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式其中

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),),在極坐標系(與平面直角坐標系取相同的單位長度,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸)中,曲線的極坐標方程為.

1)若可,試判斷曲線的位置關系;

2)若曲線交于點,兩點,且,滿足.的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的焦距為2,且長軸長是短軸長的.

1)求橢圓的標準方程;

2)若過橢圓左焦點的直線交橢圓兩點,點軸非負半軸上,且點到坐標原點的距離為2,求取得最大值時的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知某企業(yè)近3年的前7個月的月利潤(單位:百萬元)如下面的折線圖所示:

1)試問這3年的前7個月中哪個月的月平均利潤最高?

2)通過計算判斷這3年的前7個月的總利潤的發(fā)展趨勢;

3)試以第3年的前4個月的數(shù)據(jù)(如下表),用線性回歸的擬合模式估測第38月份的利潤.

月份x

1

2

3

4

利潤y(單位:百萬元)

4

4

6

6

相關公式: ,

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的長軸長為,右頂點到左焦點的距離為,、分別為橢圓的左、右兩個焦點.

1)求橢圓的方程;

2)已知橢圓的切線(與橢圓有唯一交點)的方程為,切線與直線和直線分別交于點,求證:為定值,并求此定值;

3)設矩形的四條邊所在直線都和橢圓相切(即每條邊所在直線與橢圓有唯一交點),求矩形的面積的取值范圍.

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