Question

已知曲線C為三次函數(shù)f（x）=3x-x³的圖象，過點M（2，1）作曲線C的切線，可能的切線條數(shù)是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：設出切點坐標P（x0，3x0-x03），利用導數(shù)求出過切點的切線方程，代入M點坐標，然后再利用導數(shù)求解關于x₀的方程的解的個數(shù)，則答案可求．

解答： 解：設切點為P（x0，3x0-x03），
由f（x）=3x-x³，得f′（x）=3-3x²，
∴k=3-3x02，
得曲線過P點的切線方程為y-3x0+x03=(3-3x02)(x-x0)，
即y=3(1-x02)x+2x03，
∵切線過點M（2，1），
故1=6-6x02+2x03，
即2x03-6x02+5=0，
令h(x0)=2x03-6x02+5，
則h′(x0)=6x02-12x0
由h′（x₀）=0，解得x₀=0或x₀=2，
當x₀∈（-∞，0），（2，+∞）時，h′（x₀）＞0，
當x₀∈（0，2）時，h′（x₀）＜0．
∴h（x₀）的極大值極小值分別為h（0）=5＞0，
h（2）=-3＜0，
故其圖象與x軸交點3個，
也就是切線條數(shù)為3．
故選：D．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了函數(shù)零點個數(shù)的判斷，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．