Question

甲乙兩隊(duì)進(jìn)行某決賽，每次比賽一場(chǎng)，采用七局四勝制，即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則此隊(duì)獲勝，比賽就此結(jié)束，因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的可能性均為而

1

2

，據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽組織者可獲得門票收入40萬元，以后每場(chǎng)比賽門票收入比上一場(chǎng)增加10萬元．
（I）若組織者在此次比賽中獲得的門票收入恰好為300萬元，問此次決賽共比賽了多少場(chǎng)？
（Ⅱ）求組織者在此次決賽中要獲得的門票收入不少于390萬元的概率為多少？

Answer 1

分析：（I）依題意每場(chǎng)比賽獲得的門票收入數(shù)組成首項(xiàng)為40，公差為10的等差數(shù)列，設(shè)此數(shù)列為{a_n}，根據(jù)a₁=40，a_n=10n+30，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和，得到n的值．
（II）根據(jù)題意寫出不等式，得到要獲得的門票收入不少于390萬元，則至少要比賽6場(chǎng)，若比賽共進(jìn)行了6場(chǎng)，則前5場(chǎng)比賽的比分必為2：3，且第6場(chǎng)比賽為領(lǐng)先一場(chǎng)的球隊(duì)獲勝，若比賽共進(jìn)行了7場(chǎng)，則前6場(chǎng)勝負(fù)為3：3．

解答：解：（I）依題意，每場(chǎng)比賽獲得的門票收入數(shù)組成首項(xiàng)為40，公差為10的等差數(shù)列，
設(shè)此數(shù)列為{a_n}，則易知a₁=40，a_n=10n+30
∴Sn=

n(a1+an)

2

=

n(10n+70)

2

=300  解得n=5或n=-12(舍去)
∴此次決賽共比賽了5場(chǎng)．
（Ⅱ）由S_n≥390得n²+7n≥78，∴n≥6
∴若要獲得的門票收入不少于390萬元，則至少要比賽6場(chǎng)．
①若比賽共進(jìn)行了6場(chǎng)，則前5場(chǎng)比賽的比分必為2：3，且第6場(chǎng)比賽為領(lǐng)先一場(chǎng)的
球隊(duì)獲勝，其概率P(6)=

C

3 5

×(

1

2

)5=

5

16

；
②若比賽共進(jìn)行了7場(chǎng)，則前6場(chǎng)勝負(fù)為3：3，則概率P(7)=

C

3 6

×(

1

2

)6=

5

16

∴門票收入不少于390萬元的概率為P=P(6)+P(7)=

10

16

=

5

8

=0.625

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，本題解題的關(guān)鍵是讀懂題目，理解題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．